Истороия

геометрии в своем труде "Начала геометрии" (1795). Аксиома Плейфера эквивалентна V-му постулату Эвклида.

Как показывает анализ доказательств, проведенных Эвклидом, он исходил из замысла вывести все содержание геометрии из аксиоматики. Мы хорошо знакомы с этой идеей по школьному курсу геометрии. У нас сохранилось впечатление, что в геометрии каждое следующее предложение с железной силой логики следует из предыдущих и эта логическая цепочка в конце концов исходит из общепризнанных положений, которые принимаются без доказательства и называются аксиомами.

Имея в виду такую структуру геометрии, говорят, что она дедуктивная наука, то есть она использует метод дедукции. Метод дедукции - это способ рассуждения от общего к частному, от общих положений к частным выводам. Такими общими положениями в "Началах" являются аксиомы и постулаты. Как мы уже говорили, впервые высказал принцип построения дедуктивной науки Аристотель. Поэтому принцип дедукции называют принципом Аристотеля.

Дитя древнегреческой культуры и тонкой философской мысли "Начала" просуществовали без изменения более 2000 лет. Никому в течение этого времени не удавалось написать что-нибудь, конкурирующее с "Началами".

Абсолютная геометрия

Математики, исследовавшие "Начала", заметили, что 28 первых предложений доказываются без ссылки на V-й постулат, то есть эти предложени не зависят от истинности или ложности V-ого постулата.

В эти 28 предложений входят, например:

1)учение о смежных и вертикальных углах;

2)теоремы о равенстве треугольников;

3)теоремы о соотношениях больше, меньше или равенства сторон и углов треугольника;

4)теорема о внешнем угле треугольника (утверждающая, что внешний угол треугольника больше чем любой не смежный с ним.

Исследователи оснований геометрии назвали ту часть геометрии Эвклида, которая не зависит от V-го постулата, абсолютной геометрией.

Оказывается, что в состав абсолютной геометрии входит и так называемая теорема параллельных:

если прямые l1 и l2 образуют с секущей их прямой l равные соответ-

51

ственные углы α, α′, тогда они параллельны (см. рис.).

Впервые Эвклид обращается за помощью к V-му постулату при доказательстве 29-го предложения, являющегося обратным к теореме о параллельных:

если прямые l1 и l2 параллельны, тогда с любой секущей они образуют равные соответственные углы α, α′.

Легко проверить, что если V-й постулат выполнен, то эта теорема имеет место.

Действительно, предположим противное, то есть предположим, что α 6= α′. Тогда либо α + β < 2d, либо α0 + β0 < 2d (см. рис.) и, следовательно по V-му постулату прямые l1 и l2 должны пересекаться, что невозможно, так как l1 и l2 по условию параллельны.

Как показывает анализ "Начал" роль V-го постулата очень велика. Основываясь на нем Эвклид установил, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам, развил теорию подобия фигур и построил теорию площадей и объемов.

Позднее появление на сцену V-го постулата, а затем сравнительно сложная его формулировка наводила на мысль, что он может быть выведен из других постулатов и аксиом Эвклида. Казалась странным, что прямая теорема о параллельных доказывается ссылкой на теорему о внешнем угле треугольника, обратная же ей теорема требует привлечения громоздкого V-го постулата.

Таким образом, появилось подозрение, что V-й постулат может быть доказан на основании абсолютной геометрии. Тогда его можно было бы устранить из списка постулатов.

После Эвклида этот постулат привлекал внимание математиков на протяжении 2000 лет.

Почему так долго и настойчиво выдающиеся математики пытались доказать его? Разве были какие-нибудь сомнения в его истинности, чтобы он нуждался в логическом обосновании. Нет! Речь шла о снятии с Эвклида "пятна", то есть устранения V-го постулата из аксиоматики. На современом языке это

52

означает доказать, что система аксиом предложенная Эвклидом была зависимой, так как одна из них (V-й постулат) следует из других аксиом.

Что же касается его справедливости, то это не вызывало никаких сомнений. Затем Эвклид сформулировал общие понятия или аксиомы, которые в противоположность постулатам, справедливым только для геометрии, примени-

мы вообще ко всем наукам. Аристотель говорил, что

... аксиомы - это такие очевидные вещи, которые необходимы иметь каждому, кто будет что-то изучать.

1)Равные одному и тому же равны и между собой;

2)и если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны;

3)и если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны;

4)и если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны;

5)и удвоенные одного и того же равны между собой;

6)и половины одного и того же равны между собой;

7)и совмещающиеся друг с другом равны между собой;

8)и целое больше части;

9)и две прямые не содержат пространства.

Впервой книге Эвклид доказывает элементарные свойства треугольников, среди которых - условия равенства (две фигуры считаются равными если они сопадают при наложении). Далее описываются некоторые геометрические построения, такие, как построение биссектрисы угла, середины отрезка

иперпендикуляра к прямой.

Впервой книге содержатся также - теория параллельных и вычисление площадей некоторых плоских фигур (треугольников, параллелограммов и квадратов). Понятие площади являлось фундаментальным в греческой геометрии. Одной из ее задач было сравнение площадей прямоугольных фигур с помощью понятия эквивалентных фигур, то есть таких, которые имеют одинаковую площадь, но не равны.

Вкниге второй заложены основы геометрической алгебры, восходящей к школе Пифагора. Все величины представлены в ней геометрически, и операции над числами выполняются геометрически. Числа заменены отрезками прямой. Произведения двух чисел есть площадь прямоугольника с соответствующими сторонами. Произведение трех чисел - объем. Сложение двух чисел производилось прикладыванием. Произведение ab делилось на число c

53

построением с помощью приложения площадей прямоугольника со стороной c и данной площадью ab (см. рис.) Геометрически доказывалось равенство (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. (см. рис.).

Книга третья целиком посвящена геометрии окружности, а в книге четвертой изучаются правильные многоугольники, вписанные в окружность и описанные вокруг нее.

Пятая книга посвящена теории пропорций.

Теория пропорций

Первые четыре книги элементарны. Книга же пятая написана на значительно более высоком уровне. В ней изучается теория отношений, которая является значительно более тонкой математикой. Некоторые историки приписывают ее Евдоксу Книдскому, который жил около 400-355 гг. до н.э. и основал школу в г. Кизике. Эта школа соперничала с Платоновской академией. Однако факт подлинного авторства Евдокса теории отношений до сих пор не доказан.

Понятие отношения возникает интуитивно, когда хотят сравнить две величины. Пифагорейцы разработали теорию отношений, но она была приспособлена, только к соизмеримым величинам. То есть к величинам, отношение которых можно выразить с помощью целых чисел. Пифагорейцы интерпретировали геометрические величины, как дискретные наборы единиц. Таким образом, они могли сравнивать две величины, если они имели общую единицу измерения так, что каждая из низ была целым кратным этой общей единицы. Например, если первая величина содержит m единиц, а вторая n единиц, то эти две длины находятся в отношении как m : n. Но как мы знаем Пифагорейцы сами же и открыли, что диагональ квадрата не соизмерима с его стороной. То есть эти две величины не имеют общей меры.

Таким образом, зримая реальность не позволяла выразить наблюдение с помощью чисел.

Теория пропорций, разработанная в книге пять, одинаково хорошо подходила как к соизмеримым так и не соизмеримым величинам.

54

Приведем первые определения в книге 5.

1.Часть есть величина (от) величины, меньшая (от) большей, если она измеряет большую.

2.Кратное же - большая (от) меньшей, если она измеряется меньшей.

3.Отношение есть некоторая зависимость двух однородных величин по количеству.

4.Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно могут превзойти друг друга.

5.Говорят, что величины находятся в том же отношении: первая ко второй и третья к четвертой, если равно кратные первой и третьей одновременно больше или одновременно равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвертой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке.

6.Величины же, имеющие то же отношение, пусть называются пропорциональными.

Евклид включал в понятие величины длины, площади, объемы, веса, углы, временные интервалы и т.д., хотя нигде об этом не писал. Он отказался использовать геометрическую очевидность, он избегал также к обращению к арифметике, он не приписывал величинам численных значений.

Его определение 4) устанавливает, какие величины можно сравнивать; нельзя образовать отношение двух величин, одна из которых была бы настолько мала, что никакое ее конечное кратное не может превзойти другую величину. Это определение, называемое *a(.,.) Архимеда (мы еще об этом поговорим позже), исключает бесконечно малые и бесконечно большие величины.

Определение пропорциональных величин являлось ключевым для всех построений книги пятой. В нем указывалось необходимой и достаточное условие равенства двух отношений.

Даны величины a, b, c, d, они задают равные отношения a/b = c/d, если для всех целых m, n справедливы следующие импликации

если ma > nb, то m > nd; если ma = nb, то m = nd; если ma < nb, то m < nd.

Далее, Евклид ввел линейное упорядочение на множестве отношений величин, то есть сделал возможным сравнения любых двух отношений.

55

Удалось доказать, что определение 5) делит множество рациональных чисел на два непустых непересекающихся подмножества, таких что всякое число из первого множества строго больше любого числа из второго множества, то есть это определение задает дедекиндого сечение на множестве рациональных чисел. Такое сечение определяет действительное (рациональное или иррациоональное число). Но не это было целью Эвклида. Он не строил множество чисел и не ставил такую задачу. Он лишь хотел обосновать измерение величин.

Его теория играет в греческой математики такую же роль, как теория вещественных чисел в современном математическом анализе. Из восемнадцати определений, помещенных в начале всей книги и общих понятий, сформулированных в книге один, не используя постулатов (содержание которых было геометрическим) Эвклид вывед двадцать теорем, в которых устанавливались свойств величин и их отношений. Он доказал, например следующие резуль-

b > d; и если a = c, то b = d; и если a < c , то b < d.

В книге VI теория пропорций книги V применяется к прямолинейным фмгурам, к геометрии на плоскости и, в частности, к подобным фигурам.

Книги VII, VIII и IX cоставляют трактат по теории чисел. Теория пропорций в них прилагается к числам. Следует заметить, что в книге VII излагается теория пропорций совершенно отличная от построенной в книге V. В книге VII определяется равенство отношений целых чисел, то есть фактически строится теория рациональных чисел, котора восходит к пифагорейцам. Теория пропорций книги пять была построена Евдемом из Книда (IV до н.э.).

Из многих свойств чисел, исследованных Эвклидом (четность делимость и т.д.) мы обратим внимание на очень важное предложение книги IX.

Эвклид доказал, что множество простых чисел бесконечно.

Книга X содержит классификацию квадратичных иррациональных величин, которые представлены геометрически отрезками прямых и прямоугольниками. Классификация квадратических иррациональностей стала необходи-

56

ма из-за возрастающего количества несоизмеримых величин, которые естественно возникали при геометрических построениях.

Книга XI посвящена стереометрии.

В книге XII с помощью метода исчерпывания, который приписывают Евдоксу, площади криволинейных фигур сравниваются с площадями многоугольников. Предметом книги тринадцать является построение правильных многогранников. В этой книге делаются построения Платоновых тел.

4.11Геометрия Лобачевского

Очень часто, когда речь заходит о геометрии Лобачевского, приходится слышать, что это такая геометрия, в которой через данную точку, взятую вне данной прямой, можно провести несколько прямых, не пересекающих данную прямую, как говорят, несколько параллельных прямых. При этом рисуют такую картинку (см. рис.).

Или говорят, что в геометрии Лобачевского сумма углов любого треугольника меньше, чем два прямых угла. Или говорят, что в геометрии Лобачевского два треугольника с одинаковыми углами равны (см. рис.).

Все эти высказывания без четкого понимания, какой смысл вкладывается в них, не имеют никакого содержания.

Более того, они просто затемняют суть дела. Прежде, чем рисовать картинки, зададимся вопросом, а что такое вообще прямая. Что это след, который оставляет кусок мела, или туго натянутая нить, или луч света. Нет, все эти понятия лишь дают нам представление о том, что можно принять за прямую. Хотя сама прямая, как геометрический объект не определяется. Не определяется, что такое точка. В Эвклидовой геометрии мы исходим из того, что нам задано два рода объектов: точки и прямые, которые никак не определяются. Между введенными элементами рассматриваются различные соотношения.

I. Cоотношения связи, которые подчиняются следующим аксиомам:

1)через любые две точки проходит прямая;

2)через две точки проходит только одна прямая;

57

3)на любой прямой лежат, по крайней мере две точки;

4)какую бы прямую ни взять, существует точка, на ней не лежащая.

II. Cоотношения порядка:

1)если точка B лежит между A и C, то точка B лежит на прямой

AC;

2)если точка B лежит между точками A и C, то она лежит между точками C и A;

3)если точки A и B принадлежат прямой, то существует точка C, принадлежащая прямой и лежащая между A и B;

4)из трех точек A , B и C не более одной лежит между двумя другими;

5)(аксиома Паша) если точки A , B и C не лежат на одной прямой и прямая a не проходит ни через одну из этих точек и пересекает отрезок AB , то она пересекает один из отрезков AC или BC.

Мы видим, что все эти аксиомы соответствуют нашим житейским представлениям о прямых, точках и фигурах, которые мы можем из них построить, если в качестве точек и прямых понимать след, который оставляет мел на доске. Уже на основании этих аксиом мы можем построить некоторую геометрию, а именно, строить треугольники, говорить о различных фигурах, но практика вынуждает нас сравнивать фигуры, которые построены из различных точек и различных прямых. Нам хочется отождествить треугольники, которые мы нарисуем в разных частях доски, если они могут быть перемещены один в другой. Абстрагируясь от этих житейских понятий, мы вводим

еще одно соотношение между точками и прямыми:

III. Cоответствие точек и прямых при движениях, удовлетворяющих следующим аксиомам движения:

первые пять аксиом говорят о том, что существует группа взаимнооднозначных соответствий между точками, которые мы назовем движениями;

6)движения сохраняют порядок точек на прямой;

7)если даны два репера, то существует движение, совмещающее первый репер со вторым;

8)такое движение только одно;

9)при движении любая прямая переходит в одну вполне определенную прямую.

58

Фигуры будем называть равными, если существует движение, переводящее первую фигуру во вторую.

IV группа аксиом сводится к аксиоме непрерывности Дедекинда (1831-1916). Рихард Дедекинд немецкий математик - член Берлин-

ской, Парижской и Римской академий наук. Учился у Гаусса и Дирихле в Геттингенском университете. Дедекинд один из первых (если не считать Евдокса) дал теоретико-множественное обоснование теории действительных чисел. Он сформулировал полную систему аксиом арифметики (1888), которую обычно называют аксиомами Джузеппе Пеано (1858-1932). Отметим, что Пеано первый построил непрерывную (жорданову) кривую (кривую Пеано), которая полностью заполняет квадрат. Предвестником этой аксиомы было учение Евдокса (408-355) о пропорциях, который был еще и автором метода исчерпывания, с помощью которого он доказал теорему об объеме пирамиды. Евдокс изучал математику у Архита Тарентского (428365) - друга Платона, последователя Пифагорейской школы. Евдокс организовал в греческом городе Книде школу, после того как долго путешествовал по Греции и Египту.

Аксиома Дедекинда Если точки прямой разбиты на два непустых класса, так что в одном

из двух направлений на прямой каждая точка первого класса предшествует каждой точке второго класса, то либо в первом классе существует точка, следующая за всеми остальными точками первого класса, либо во втором классе есть точка, предшествующая всем остальным точкам второго класса.

Иходя из сформулирванных аксиом можно доказать теоремы, связанные с теорией вертикальных и смежных углов, признаки равенства треугольников, теоремы о соотношениях больше, меньше и равенства сторон и углов треугольника, теорему о внешнем угле треугольника и др.

Пятая группа аксиом сводится к V -му постулату, который мы уже

сформулировали ранее.

Если вместо этой аксиомы сформулировать аксиому Лобачевского в виде V Если a некоторая прямая и B некоторая точка, на ней не лежащая, то существует по крайней мере две различные прямые b и b′, не пересека-

ющие прямой a и проходящие через точку B .

59

Следствия, вытекающие из всех аксиом плюс V -й постулат или плюс V -й постулат, оказываются совершенно различными.

Сумма всех углов любого треугольника постоянна и равна двум прямым. (Сумма всех углов треугольника есть величина переменняа и меньше

двух прямых.)

Сумма всех углов любого выпуклого четырехугольника равна четырем прямым.

(Сумма всех углов любого выпуклого четырехугольника меньше четырех прямых, так что, в частности, не сущес твует прямоугольников).

Ко всякому треугольнику можно построить подобный, но не равный ему треугольник.

(Если три угла одного треугольника соответсвенно равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники равны.)

Вокруг всякого треугольника можно описать окружность. (Вокруг не всякого треугольника можно описать окружность.)

Все результаты, которые получалиcь при использовании постулата V

получались вначале при желании доказать, что это приведет к противоречию с предыдущими аксиомами. Но противоречие не находилось, а наоборот получалась законченная и стройная теория.

Лобачевский предположил, что пятый постулат не зависит от других аксиом, а его отрицание приводит к построению новой науки - неевклидовой геометрии.

Заслуга Лобачевского состоит в том, что он поставил очень важные вопросы.

1)Независимость системы аксиом, то есть не следуют ли некоторые аксиомы из других.

2)Непротиворечивость систем аксиом, то есть не могут ли из нее быть выведены путем логических рассуждений два взаимно исключающих следствия.

3)Полнота, то есть нельзя ли ее пополнить новыми аксиомами, которые не вытекали бы из предыдущих и им не противоречили.

Ответы на эти вопросы были даны математиками, которые занимались основаниями геометрии. В частности, важнейшее место здесь принадлежит Давиду Гильберту, который в 1899 году дал полную систему аксиом Эвклидовой геометрии, классифцировал их по группам и старался опреде-

60