Истороия

3.3Описание Вавилонской математики. 1. Вавилонская нумерация. 2. Арифметические задачи. 3. Алгебраические методы. 4. Геометрия. 5. Значение Вавилонской математики

В Вавилоне впервые (из известных к настоящему времени математических текстов) появляется позиционная нумерация. Причем система счисления, которой пользовались вавилонские математики в течение полутора тысяч лет, о которых мы имеем информацию с математическими текстами, была шестидесятиричной. Клинописные таблички начали расшифровываться в 50-х годах 19-го века. Английский ученый Гинкс (Hinks) расшифровал один из текстов Британского музея. В этом тексте, относящимся к ассирийской эпохе содержится таблица ежесуточного прироста видимой части лунного диска от новолуния до полнолуния. Гинкс показал, что правильное понимание таблиц возможно, если принять что все числа в таблице записаны в шестидесятиричной системе. Единого мнения о причине возникновения уникальной шестидесятиричной системы счисления нет. Но очень правдоподобна гипотеза О. Нейгебауера. Он считает, что такая система счисления возникла из шестидесятиричной системы мер. В Вавилонской метрологии часто встречаются такие меры, что отношения мер высшего разряда к мерам низшего разряда выражаются число 60. Например, в системе мер веса 1 талант равен 60 минам, 1 мина равна 60 шекелям. При этом единицы веса были одновременно и денежными единицами. Древние Вавилоняне не имели монет и денежные расчеты производились серебром по весу. Так что шестидесятиричная система возникла благодаря денежно-весовой системе мер. Конечно, возникает вопрос, почему именно число 60 сделалось основным отношением в системе мер веса. Это возникло благодаря взаимодействию различных народов - шумерского и аккидского. Каждый из них имел свои весовые единицы. Системы исчисления у обоих народов были десятичными. У аккидов единица мера веса была мина, а у шумерян мера веса была шекель. По-видимому 1/6 мины приравнивали к 10 шекелям. Таким образом, возник эквивалент 1 мина равна 60 шекелям. Обе единицы стали употребляться совместно. Постепенно при расчетах названия мин и шекелей стали опускаться (как мы порой говорим не 2р. 20к., а просто 2.20) и возникла шестидесятиричная система счисления.

Шестидесятиричная нумерация вавилонских математиков использовала только два символа вертикальный клин ! и скобку < . Первый символ обозначал 1 и 60, а второй символ обозначал 10 и 600. Числа от 1 до 59 нумеровались

31

по десятеричной системе. При их записи знаки единицы и десяти записывались столько раз, сколько имелось в данном числе единиц и десятков. Причем разряды располагались в том же порядке как и в нашей десятичной системе. Например запись !!! обозначала 3, запись << обозначала 20 , а запись <<<!! обозначала 32. Начиная с 60 способ записи меняется. Число 60 обозначается тем же знаком, что и 1. Два шестидесятка, то есть 120 обозначается !!, то есть так же как и 2. При этом сразу видна неопределенность записи, так как нуля в вавилонской нумерации не было. Смысл числа обычно был ясен из контекста. Так число 169 обозначалось !! <<<<!!!!!!!!!, то есть представлялось в виде 169 = 2 × 60 + 4 × 10 + 9.

Запись

!!! <!! !

означает число 3 ×602 + 12 ×60 + 1 = 11521. Перед последней цифрой имеется пробел, который позволяет правильно прочитать число. Если бы пробела не было, то запись

!!! <!!!

означала бы число 193 = 3 × 60 + 13. Таким образом система счисления вавилонских математиков является синтезом десятичной и шестидесятиричной систем счисления. При этом наблюдается позиционность системы счисления. В этом смысле вавилонская нумерация имеет некоторое сходство с нашей. Однако в десятичной системе десять имеет обозначение отличное от единицы, в то время как 1 и 60 имеют одинаковое обозначение. Самым главным недостатком вавилонской нумерации является отсутствие нуля.

В нашей нумерации числа 10, 102, 103 и т.д. мы обозначаем не просто единицей, а единицей с нулями. В Вавилонских же текстах числа 1, 60, 602, 603 и т.д. обозначаются совершенно одинаково. То же самое имеет место и для всякой числовой записи. Так число !! <<<<!!!!!!!!! можно прочесть как 10140 = 169 × 60, если считать, что 2 выражает число единиц третьего разряда, 49 - число второго разряда, а первый разряд не содержит ни одной единицы.

Вследствие этого вавилонскую нумерацию называют нумерацией с неопределенностью позиции. Те же обозначения применялись и для обозначения

дробей. Так запись !! <<<<!!!!!!!!! могла обозначать и дробь 2 4960 и 3600169 . Интересно отметить, что система десятичных дробей получила распространение

32

в европейской науки всего три века назад, при этом она не вытеснила обыкновенных дробей. В вавилонской же математике шестидесятиричные дроби применялись 40 веков назад и вавилонская математика не применяла никаких других дробей.

Решающим моментом в создании позиционной системы счисления является обозначение пустоты того или иного разряда. Это достигается в нашей нумерации употреблением знака нуля.

Применение этого знака и даже его форма (кружок) восходит через посредство мусульманских народов средневековья к индийским источникам. Однако еще раньше кружок использовался для обозначения пустоты разряда греческими астрономами в шестидесятиричной системе.

Арифметические задачи

Методы решения арифметических задач сводятся в основном к идеям пропорциональной зависимости и среднего арифметического. Вавилоняни знали формулу для арифметической прогрессии и формулу геометрической про-

грессии вида

k=n

2k = 2n + (2n − 1).

k=0

Замечательна формула суммирования квадратов натуральных чисел. В современных обозначениях формула имеет вид

где N = i=n i.

i=1

Алгебраические методы

Вклинописных текстах мы находим большое число задач, решаемых с помощью уравнений и систем уравнений первой и второй степеней. Рассматривались также уравнения и больших степеней. Эти уравнения и системы еще не использовали символы, но использовали специальную терминологию. Они решались с помощью арифметических и алгебраических преобразований. Техника решений достигла значительного уровня уже в эпоху Хаммурапи.

Вслучае двух неизвестных одно из них называлось длиной (x), а другое

-шириной (y). Произведение xy называлось площадью, полем или длинойшириной, x2, y2 - площади квадратов. Предполагалось всегда, что x > y

33

(длина больше ширины). В задачах, приводящихся к кубическому уравнению, встречалась третья переменная глубина (z), а произведение xyz называлось объемом. Это показывает, что происхождение вавилонских задач геометрическое, но при этом решались задачи совершенно абстрагированные от геометрии. Об этом свидетельствует употребление бессмысленных с точки зрения геометрии выражений типа x + xy + xyz. Важно еще подчеркнуть, что термины "длина", "ширина", "глубина" обозначались шумерскими знаками в текстах, написанных на аккадском языке, который был уже разговорным языком в то время. Так что знаки "длина", "ширина", "глубина" приобретали смысл настоящих математических (алгебраических символов), что, некоторым образом, стимулировало создание абстрактного алгебраического языка. В некоторых случаях употреблялись и совсем абстрактные названия "множитель" и "обратное" для обозначения (x) и 1/x. Подчеркнем, что вавилонская математика не знала ни отрицательных ни комплексных чисел. Поэтому они всегда имели дело с квадратными уравнениями, имеющими положительные коэффициенты, и один положительный корень. К таким уравнениям относится уравнение, записанное в виде

x2 + q = px, p > 0, q > 0,

которое рассматривалось в клинописных текстах. К квадратным уравнениям приводили практические задачи, например, следующего содержания. Найти стороны данного прямоугольника, если известны его периметр 2p и площадь q, или найти катеты прямоугольного треугольника по известным гипотенузе b и площади a. Очевидно, эти задачи приводились к решению систем уравнений вида

x + y = p xy = q,

xy = a x2 + y2 = b,

которые в свою очередь сводились к решению квадратных уравнений указанного выше типа.

Вавилоняне решали задачи, которые сводились к решению кубического уравнения. Например, ставился вопрос об определении ребер прямоугольного

34

параллелепипеда по данной сумме его объема и площади одной из боковых граней, при некоторых линейных соотношениях между ребрами.

Такая задача сводилась, например, к решению системы трех уравнений вида

xyz + xy = a y = bx z = cx,

где a, b, c - заданные числа.

Геометрия

Отметим несколько достижений вавилонской геометрии по сравнению с египетской. Длину окружности вычисляли по формуле C = 6R, то есть считая π = 3. И это не было достижением по сравнению с египтянами (кстати значение π = 3. встречалось еще в библии). Зато площадь выражалась через длину окружности по формуле S = C2/12, а это уже было продвижение.

Одним из лучших открытий вавилонской математики было открытие теоремы Пифагора. Открытие и доказательство этой теоремы греки приписывали Пифагору, жившим в VI в. до н.э. Однако эта формула появилась в Вавилоне еще во время эпохи Хаммурапи. Как пришли вавилоняне к теореме Пифагора не ясно. Возможно они заметили, что некоторые треугольники

сцелочисленными сторонами a, b, c, удовлетворяющими условию a2 + b2 = c2, являются прямоугольными. Затем они возможно распространили это наблюдение на все прямоугольные треугольники. В древневавилонскую эпоху знали большое множество троек целых пифагоровых чисел. В 1945 году Нейгебауер и Сакс опубликовали расшифровку таблички, которая хранится в библиотеке Колумбийского университета содержащий большой список троек пифагоровых чисел. Авторы расшифровки полагают, что таблица чисел составлялась

спомощью следующего правила, которое затем встретится у Эвклида.

a = 2pq, b = p2 − q2, c = p2 + q2.

Например, наряду с просто получаемой тройкой: 60, 45, 75 вида 4 × 15, 3 × 15, 5 × 15, имеются не очевидные тройки 72, 65, 97, 3456, 3367, 4825 и т.д.

Значение математики древнего Вавилона.

Подводя итоги, можно констатировать, что вавилонская математика достигла более высокого уровня, чем египетская, хотя она и не достигла уровня греческой математики, в которой математика сформировалась уже как

35

дедуктивная наука.

Тем не менее, в Вавилоне впервые возникла система счисления, основанная на позиционном принципе и позднее фактически стал употребляться знак нуля. Впервые была разработана алгебра линейных и квадратных уравнений и были рассмотрены некоторые случай решения уравнений более высоких степеней. Была открыта теорема Пифагора. Ясно, что вавилонская математика оказала влияние на последующее развитие математики. При завоевании обширных земель Азии вавилонская культура оставляла свой след и включалась в культуры других народов. Одновременно ее культуру поглощали и народы завоеватели. В эллиническое время контакт греческой и вавилонской наук принес ценные плоды в астрономии и математике. Влияние шестидесятиричной нумерации отразилось на арифметике дробей и делении круга, которым пользуются и по сей день. По-видимому принцип позиционности проник из Вавилона в индийскую математику, которой мы обязаны, знаком нуля. Несомненно алгебраические идеи повлияли на работы Герона, Диофанта и позднее на работы ал-Хорезми и других основателей алгебраической школы стран Ислама.

4Древняя Греция.

От математики древнего Востока до нас дошли набор отдельных задач с решениями и многочисленные таблицы. Все решения снабжены указаниями делать определенные действия с числами и некоторыми объектами. Однако

вэтих текстах нет и намека на доказательство.

Вдревней Греции в VI-IV вв. до н.э. произошел скачок к новой науке, основанной на строгих доказательствах и на дедукции. Рождение математики совпало с появлением демократического государства и рождением комедии и трагедии.

4.1Краткая история древней Греции. 1. Образование греческого народа. 2. Образование полисов. Греческие города Милет, Спарта, Афины. Александрия - столица гречекого мира и хранительница греческих традиций. 3. Конец греческой цивилизации.

Эллины как народ сложился в результате двух вторжений индоевропейских завоевателей. Около 2000 г. до н.э. на полуострове Пелопонес обосновались

36

ахейцы о них рассказывается в легендах Гомера. В конце VII века до н.э. произошло вторжение дорийцев, которое привело к новому переселению народов. Оно затронуло западное побережье Малой Азии (Ионию) и острова Эгейского моря.

После периода завоеваний и колонизации Средиземноморского побережья в начале XIII века до н.э. сложилась новая политическая организация, которая заключалась в образовании полисов, то есть автономных государствгородов, образующих Грецию. K VI веку до н.э. главным греческим городом был Милет (в Ионии). Затем главенство перешло к Спарте и Афинам. После завоеваний Александра Македонского (334 по 327 гг. до н.э.) могущество Афин пошатнулось и столицей греческого мира стала Александрия (Египет). Конец этой блестящей цивилизации приходится на 30 г. до н.э. и совпал со смертью царицы Клеопатры. Египет полностью перешел под контроль Римлян (отметим, что Македония и Греция были завоеваны римлянами еще в 146 г до н.э.). Однако, Александрия оставалась хранительницей греческих традиций вплоть до своего падения под натиском Мусульман в 640 г.

4.2Источники Греческой математики.

При изучении греческой математики возникает вопрос об источниках. Помимо нескольких фрагментов александрийских папирусов мы не располагаем оригинальными манускриптами. Греческие тексты дошли до нас в виде списков со списков. Аутентичность (от греч. authentikys - подлинный) этих текстов не гарантирована наукой. Имеются также комментарии, которые были составлены спустя 500-1500 лет после появления оригиналов, а также их арабских переводов и латинских вариантов.

4.3Греческая нумерация.

Первоначально греки пользовались аттической нумерацией (или геродиановой по имени грамматика Геродиана, который описал эту нумерацию). Эта нумерация была основана на аддитивном принципе и очень близка к римской нумерации. Основными знаками этой нумерации были I − 1 II − 2, III − 3, IIII − 4, − 5, − 10 H − 100, X − 1000, M − 10000. Все остальные числа обозначались комбинацией этих символов. Например, I − 6, − 15.

X − 1005

37

Аттическая нумерация была связана со счетной доской, которая называлась абак. Абак разделялся на столбцы в соответствии с десятичными разрядами. Числа на абаке обозначались камешками.

Постепенно аттическая нумерация сменилась ионической. Ее использование распространилось в Александрию (с III в.до н.э.). Это алфавитная десятичная, аддитивная непозиционная система счисления. Она использовала 24 буквы греческого алфавита и еще три знака. В александрийских папирусах появился знак нуля. Чтобы отличить слово от числа, греки ставили над буквами входящими в число горизонтальную черту. В этой нумерации α−1 β −2, γ − 3, ... i − 10, τ − 300 и т.д. Таким образом, τ i означало 310, iβ означало 12. Арифметические операции умножения и деления в такой системе исчисления были чрезвычайно сложны.

4.4Ионийская школа, основанная Фалесом. 1. Фалес из Милета - "отец"греческой науки. Анаксимен и Анаксандрин. 2. Философия ионийской школы. 3. Геометрические результаты.

Начало греческой науки положила ионийская школа натурфилософии, которая сформировалась в VI в. до н.э. Основателем ее был "отец"греческой науки Фалес. Он был купцом, политическим деятелем, философом, астрономом, и математиком. Жил Фалес в городе Милете, который был богатой греческой колонией в Малой Азии. К школе Фалеса принадлежали и его ученики Анаксимен и Анаксандрин. Они были наивными материалистами и пытались объяснить происхождение мира из единого начала. Например, сам Фалес считал, что весь мир произошел из воды. По сообщениям Прокла (V в. н. э.), который сам опирался на не дошедшую до нас историю геометрии ученика Аристотеля Евдема Родосского (ок. 320 г. до н.э.). Ионийцы первые среди эллинов занялись геометрией. Причем Фалес доказал следующие результаты:

1)диаметр делит круг пополам.

2)сформулировал правило равенство углов при основании равнобедренного треугольника.

3)Открыл равенство вертикальных углов.

4)доказал теорему о равенстве двух треугольников, имеющих равные сто-

роны и два угла.

Последнюю теорему Фалес использовал для определения расстояния до кораблей на море.

38

4.5 Школа Пифагора. 1. Самос - родина Пифагора. 2. Кротоновское братство его основания и принципы. 3. Время Пифагорейской научной школы 585 - 400 гг. до н. э. 4. Основы пифагорейской арифметики ее геометричность. 5.Открытие иррациональных чисел Гиппазием.

Пифагор родился в первой половине VI в. до н.э. на острове Самос, который находится вблизи Милета. По-видимому, он был учеником Фалеса и Анаксимандра. Он путешествовал по Египту и Вавилону и наконец обосновался в городе Кротоне на юге Италии - греческой колонии. В это время в городе не прекращалась борьба между аристократией и народом.

Пифагор создал здесь братство религиозного, философского и научного характера с политическим уклоном. Пифагорейцы провозглашали борьбу против падения нравов, которое стало следствием роскошной жизни аристократов. Пифагорейцы проповедовали суровый образ жизни, самообладание, и коллективную дисциплину. Труды, приписываемые Пифагору принадлежат по-видимому многим членам Пифагорейской школы между 585 и 400 гг. до н.э. В результате народного восстания кротоновское царство распалось, однако научная деятельность продолжалась на протяжении двух веков разными членами братства. Пифагор, конечно, задумывался над созданием вселенной и исходил из существования некой субстанции, которая породила всю Вселенную. Причину всех явлений Пифагор видел в противоположности принципов. Ограниченное–неограниченное, нечетное – четное, единое – множественное, квадратное – продолговатое и т.д. Не задумываясь над материальными причинами явлений, Пифагор исходил из поиска религиозной причины всех явлений в целом. Основой всего Пифагор провозгласил число. "Все есть число девиз Пифагора. Пифагорейцы рассматривали числа как образующие элементы материи. Они отождествляли числа с совокупностями точек, образующих геометрические конфигурации. Эта школа заложила основы греческой арифметики, которая ограничивалась изучением целых чисел, рассматриваемых, как дискретный набор единиц.

Их арифметика геометрична: она разбивает числа на классы в зависимости от формы соответствующих им фигур. На рисунках ниже изображены геометрические фигуры из точек, которые приводят к образованию треугольных, квадратных, пятиугольных чисел.

39

Многочисленные свойства многоугольных чисел можно непосредственно увидеть на геометрических фигурах, которые их изображают. Например, всякое квадратное число есть сумма двух треугольных чисел. Квадратные числа растут "гномонически", то есть от одного квадратного числа к следующему можно перейти прибавив к первому "гномон"(угол).

"Гномон это такая фигура, прибавление которой к некоторой другой фигуре ее увеличивает, не изменяя формы. пифагорейцы рассматривали также

ипространственные числа.

Вшколе Пифагора были введены понятия четных и нечетных чисел, простых и составных. Основной результат о четных и нечетных числах формулируется так. Произведение двух чисел делится на два тогда и только тогда, когда, по крайней мере, один из сомножителей делится на два.

Пифагорейцы открыли совершенные и дружественные числа. Напомним, что число называется совершенным, если оно равно сумме своих собственных делителей. Например: 6, 28, 496, 8128.

Два числа называются дружественными, если каждое из них равно сумме собственных делителей другого. Например 220 и 284.

Позднее Эвклид доказал, что если 1 + 2 + 22 + . . . 2n = p есть простое число, то 2np является совершенным числом.

Эйлер доказал, что никаких других четных совершенных чисел, отличных от описанных, в теореме Эвклида, не существует. Однако, вопрос о конечности или бесконечности множества совершенных чисел остается открытым. До сих пор не найдено ни одного нечетного совершенного числа, и не доказано, что таких чисел не существует.

Пифагорейцы исследовали неопределенное уравнение

x2 + y2 = z2.

Целые решения этого уравнения называют пифагоровыми тройками. Они нашли бесконечное множество троек, имеющих вид

x = 1/2(m2 − 1), y = m, z = 1/2(m2 + 1).

Вся совокупность пифагоровых троек задается формулами

x = µ2 − ν2, y = 2µν, z = µ2 + ν2.

40