Для статистически значимых величин может быть построен доверительный интервал

Определение: доверительный интервал – это интервал, в котором с определенной вероятностью можно ожидать фактического значения изучаемой величины.

Доверительный интервал определятся по формуле:

математическое ожидание величины U ; su стандартная ошибка характеристики

U, t – теоретическое значение t – статистики, найденное по таблицам t – распределения Стьюдента. Вероятность попадания в доверительный интервал равняется 1- .

3.3. Оценка статистической значимости параметров линейной модели множественной регрессии

Рассмотрим модель множественной регрессии. Пусть уравнение модели, определенное по выборочным исходным данным имеет вид:

являются случайными величинами. Их математические ожидания при выполнении предпосылок об отклонениях i равны соответственно

( 0 , 1 , 2 ,... k ) .

Проверка параметров на статистическую значимость осуществляется по схеме статистической проверки гипотез с использованием t - статистики

29

Следовательно, факторная переменная x j оказывает существенное влияние на

результативный показатель.

Если параметр a j окажется статистически незначимым (статистически

В то же время решение о включении или не включении переменной в регрессию решается с привлечением содержательных и теоретических предположений о задаче исследования.

Для статистически значимых параметров может быть построен доверительный интервал, показывающий с вероятностью (1 ) возможный

3.4. Оценка статистической значимости параметров линейной модели парной регрессии

Рассмотрим линейную модель парной регрессии. Пусть уравнение модели, определенное по выборочным исходным данным имеет вид:

Yˆ a b X . Проверка на статистическую значимость параметров парной регрессии можно проводить также как для множественной регрессии.

Дисперсии параметров a и b могут быть найдены по формуле (3.11), для

При оценке парной регрессии, прежде всего, необходимо проверить наличие линейной связи между Y и X , т.е. проверить статистическую значимость параметра b . Величина b есть мера наклона линии регрессии – тангенс угла (tg ) наклона линии регрессии к оси X .

Доверительный интервал для M (b)характеризует угол, в котором с

5 Мхитарян В.С., Архипова М.Ю. и др. Эконометрика. М.П: Проспект,2008г. 32-35 ст.

30

выбранной вероятностью (1 ) может находиться искомая прямая. Очевидно, что чем больше разброс значений Y вокруг линии регрессии

(большеSe2 ), тем больше (в среднем) ошибка в определении наклона линии регрессии. Если такого разброса нет совсем (ei=0, следовательно, Se2 =0), то

прямая определяется однозначно и ошибок в определении параметров нет. Как следует из (3.15), дисперсия свободного члена уравнения

пропорциональна S2b , поэтому для нее справедливы уже сделанные пояснения о влиянии разброса Yi вокруг регрессионной прямой. Чем сильнее меняется

наклон искомой прямой, проходящей через точку X ,Y , тем больше разброс свободного члена, характеризующего точку пересечения этой прямой с осью Y.

3.5. Оценка статистической значимости уравнения регрессии

При анализе регрессионных моделей кроме оценки индивидуальной статистической значимости каждого из коэффициентов, проводится оценка значимости уравнения регрессии в целом. О наличии зависимости между Y и

факторными переменными мы судим по величине R2 . Возникает вопрос,

действительно ли полученное при оценке модели значение R2 отражает наличие истинной зависимости или оно получилось случайно.

Для проверки значимости уравнения в целом в качестве нулевой гипотезы рассматривается H0 : a (a0 ,a1,....ak ) 0 . Для проверки гипотезы

используется F – критерий Фишера, основанный на сопоставлении факторной–

распределение отношения этих дисперсий, представленное в таблицах показателя F (таблица 13). Эти теоретические величины связаны с определенной доверительной вероятностью и зависят от числа степеней свободы для двух сравниваемых дисперсий. Табличные значения Ft

используется как критические для оценки расчетных значений. Если Fрасч > Ft, то нулевая гипотеза отвергается и уравнение признается статистически значимым. .

31

Качество подбора функции можно оценить сравнением двух оценочных дисперсий: дисперсии остатков и общей дисперсии. Если Se2 > S 2 , то

исследуемое уравнение определяет не адекватную модель и ее нужно отвергнуть.

F–статистика может быть выражена через коэффициент детерминации:

значения F , в то же время малым значениям F (отсутствие значимой связи X и Y соответствуют малые значения R2 ).

Для модели линейной парной регрессии статистическую значимость уравнения можно проверить на основе коэффициент парной корреляции RXY ,

В этом случае RXY R2 . Проверка проводится по стандартной схеме

статистической проверки гипотез с использованием t – статистики Стьюдента. Расчетное значение статистики:

статистически значимым, а модель адекватной и надежной. Для коэффициента корреляции может быть построен доверительный интервал:

R tтабл SR M (R) R tтабл SR

Чем шире интервал, тем больше неопределенность в оценке связи Y и X .

3.6. Оценка точности модели

Фактические значения результативного показателя отличаются от значений, рассчитанных по уравнению модели, на величину ei Yi Yˆi . Эта

величина в каждом наблюдении представляет собой абсолютную ошибку аппроксимации. Но эти величины несравнимы между собой, так как зависят от единиц измерения и масштаба величин Yi . Так, если в одном наблюдении

получилась ошибка 5, а в другом 10, это не означает, что в последнем случае модель дает худший результат.

Поэтому для того, чтобы оценки были сравнимыми, рассматривают относительные оценки i (отношения отклонений ei к фактическим значениям

Yi (в процентах)). Поскольку отклонения ei могут быть как положительными, так и отрицательными, то отклонения берутся по модулю.

32