На практике при предварительном выборе отбирают обычно две-три кривые роста для дальнейшего исследования и построения трендовой модели данного временного ряда. Для большинства кривых роста расчет параметров осуществляется по МНК, также как для модели парной регрессии. Для нелинейных моделей проводится их линеаризация. В случае невозможности линеаризации применяют нелинейные методы оценивания.

Следует отметить: при выборе кривой роста нецелесообразно использовать функции, содержащие большое количество параметров, так как полученные таким образом уравнения тренда (особенно при малом числе наблюдений) будут отражать случайные колебания, а не основную тенденцию развития явления.

5.5. Проверка качества трендовой модели.

Независимо от вида и способа построения трендовой модели возможность ее применения для анализа и прогнозирования может быть решена только после проверки ее адекватности и точности. Эта проверка может быть выполнена также как для модели парной регрессии в разделе 3.

Качество модели можно также оценить, исследуя ряд остатков ei Yi Yi . Величины ei являются оценками стохастического возмущения I и, следовательно, должны удовлетворять условиям Гаусса–Маркова, т.е. ряд остатков ei должен удовлетворять следующим требованиям:

50

ei –случайные величины со средней равной нулю(e 0) ,

дисперсия величин ei постоянна для любых наблюдений;

ei –независимы между собой, т.е. в ряду остатков отсутствует

существенная автокорреляция.

При выполнении перечисленных условий исследуемая модель является адекватной и надежной. Кроме того, при использовании модели для прогнозирования необходима проверка на подчинение ряда остатков нормальному закону распределения. Для проверки перечисленных предположений имеются специальные статистические критерии. Рассмотрим некоторые из них.

I. Проверка случайности в ряду остатков (критерий поворотных точек,

критерий серий, критерий восходящих и нисходящих серий и пр.)

Критерий поворотных точек

вероятностью 95 %. Здесь n–число наблюдений, а квадратные скобки означают, что от результата берется целая часть.

Критерий серий.

1. Располагаем ряд остатков в порядке возрастания их значений и находим медиану m полученного вариационного ряда (срединное значение

при нечетном n или среднюю арифметическую из двух срединных значений при четном n.

2. Сравниваем каждое значение последовательности ei с m и ставим «плюс единицу», если значение ei превосходит m и «минус единицу, если значение ei меньше m . В случае равенства ei = m ставим ноль. В результате

получается последовательность из +1 и – 1, общее число которых менее n. Последовательность подряд идущих +1 или – 1 называется серией.

Обозначим протяженность самой длинной серии через Kmax , а число серий

через .

Величины ei признаются случайными, если выполняются следующие условия (при 5% уровне значимости):

Kmax < 3,3(logn 1) и 12 (n 1 1,96 n 1 (5.6)

Здесь квадратные скобки означают целую часть.

Если хотя бы одно из неравенств нарушается, то гипотеза о случайном характере отклонений отвергается.

51

II. Проверка равенства математического ожидания случайной компоненты нулю ( M ( i ) 0 i 1,n )

Из применения МНК вытекает:

Это условие выполнимо для линейных моделей и нелинейных относительно факторных переменных, которые заменой переменных можно привести к линейному виду. Для моделей, нелинейных по оцениваемым параметрам и приводимых к линейному виду логарифмированием, средняя ошибка равна нулю для логарифмов исходных данных.

В тоже время из условия (5.7) не обязательно должно следовать условие равенства нулю математического ожидания величин i ,i 1,n ). Поэтому необходима проверка выполнимости этого условия.

Формулируется нулевая гипотеза H0 : e 0 . Строится t статистика:

На уровне значимости гипотеза отклоняется, если t расч t ,n 1 ..

III. Проверка независимости (отсутствия автокорреляции) в ряду остатков.

Корреляционная зависимость между рядом наблюдений и тем же рядом, сдвинутым на несколько шагов по времени, называется автокорреляцией.

Длину временного смещения называют лагом. Так как большое распространение имеют модели с лагом, равным одному году, то в некоторых работах автокорреляция определяется как корреляционная зависимость между соседними значениями уровней временного ряда.

Автокорреляция в остатках является нарушением условий Гаусса-

затрудняет применение классических методов анализа временных рядов, снижает эффективность применения МНК. Поэтому выработаны и применяются специальные статистические приемы для ее выявления

(критерий Дарбина — Уотсона, тест серий, тест Лююинга-Бокса и др)12 ,

смягчения и устранения.

Критерий Дарбина-Уотсона (d-критерий).

Это наиболее распространенный и простой критерий (тест), выявляющий определяющий только автокорреляцию первого порядка, т.е. между рядами, сдвинутыми на одно значение (лаг=1). Он основан на простой идее: если имеется корреляция ошибок i , то она присутствует и в остатках ei ,

получающихся после применения МНК.

12 Кремер Н.Ш.,Путко Б.А. Эконометрика. М.- Юнити, 2003, с.170

52

Несложные вычисления позволяют проверить, что d 2(1 ) ,где -

выборочный парный коэффициент корреляции между соседними уровнями ряда. Если автокорреляция отсутствует, то =0, следовательно, d 2 . В случае

функциональной зависимости =1, а d 0 . Таким образом, интервал

изменения d :0 d 4 .

Близость статистики d к 4 свидетельствует об отрицательной автокорреляции остатков. Такая закономерность поведения последовательных может встретиться при работе, например с полугодовыми данными показателей с сезонным характером изменений. Близость d к нулю означает наличие положительной автокорреляции.4

Имеются таблицы критических точек распределения Дарбина – Уотсона (таблица 15). По ней для заданного уровня статистической значимости , числа наблюдений n и количества факторных переменных определяются два

значения: d1 –нижняя граница и d2 - верхняя граница. Расчетная величина d сравнивается с двумя этими значениями. Возможны следующие случаи:

автокорреляция.

На практике иногда пользуются следующим правилом: если расчетное значение статистики попадает в интервал (1,5–2,5), то считают, что автокорреляция отсутствует. При использовании данного критерия необходимо учитывать следующие ограничения:

d -критерий применим только для моделей со свободным членом;

d -критерий выявляет только автокорреляцию первого порядка

d -критерий не применим для моделей, включающих в качестве факторной переменной зависимую переменную с одним лагом (т.е. для авторегрессионных моделей).

Тест Бреуша-Годфри

Тест основан на следующей идее: если имеется корреляция между соседними наблюдениями, то естественно ожидать, что в уравнении

При практическом выполнении теста оцениваем параметры (5.9) по МНК

53