AlgAndGeom-1
.pdfДругими словами, отображение называется линейным, если правые части формул (1) — многочлены степени ≤ 1 (т.е. степени 0 или 1).
Заметим, что формулы (1) можно записать в координатной форме
(x′, y′) = f(x, y) = (a1x + b1y + c1, a2x + b2y + c2), |
(1′) |
где f(x, y) — двух координатная (векторная) функция.
Пример 18.2. Если a1 = b1 = a2 = b2 = 0, то линейное отображение
{x′ = c1 y′ = c2
отображает всю плоскость P в точку (x′, y′) = (c1, c2) на плоскости Q и называется постоянным отображением. Рис.
Пример 18.3. 1) Линейное отображение
{x′ = x y′ = 0
реализует проекцию плоскости P на ось x′ плоскости Q. Рис.
2) Линейное отображение |
{ y′′ |
= y |
|
x = 0 |
реализует проекцию плоскости P на ось y′ плоскости Q. Рис. Пример 18.4. 1) Линейное отображение
{x′ = x y′ = y
накладывает плоскость P на плоскость Q и называется тождественным
отображением. Рис. |
|
|
2) Линейное отображение |
{ y′′ |
= x |
|
||
|
x = y |
переворачивает плоскость P вокруг биссектрисы y = x, т.е. меняет местами оси x и y и называется симметрией относительно биссектрисы y = x. Рис.
Пример 18.5. Линейные отображения
x′ = −x |
и |
x′ = x |
{ y′ = y |
|
{ y′ = −y |
реализуют осевые симметрии относительно осей y и x соответственно. Осевые симметрии часто интерпретируют как переворачивание плоскости вокруг
51
оси симметрии на угол 180◦. Последовательное применение симметрии относительно оси y, а затем симметрии относительно оси x есть отображение
{x′ = −x y′ = −y ,
которое интерпретируют как поворот плоскости P вокруг начала координат на угол 180◦. (Два переворота эквивалентно одному повороту.) Рис.
Лемма 18.6. Если главный определитель отличен от нуля, т.е. ∆ =
a1 b1 ≠ 0, то линейное отображение f : P → Q имеет обратное линей- a2 b2
ное отображение f−1 : Q → P , которое задаётся формулами
x = b2 x′ |
− |
b1 y′ + b1c2−b2c1 |
||
∆ a2 |
∆ a1 |
∆ |
a2c1 . |
|
a1c2 |
||||
{ y = −∆ x′ |
− ∆ y′ − |
|
∆− |
Доказательство. Решим по правилу Крамера систему
{
a1x + b1y = x′ − c1 a2x + b2y = y′ − c2
относительно x и y, получим требуемый результат.
Следствие 18.7. (Критерий.) Линейное отображение (1) взаимно однозначно, тогда и только тогда, когда ∆ ≠ 0.
Известно, что если ∆ > 0, то аффинное преобразование не переворачивает плоскость, а если ∆ < 0, то — переворачивает.
Определение 18.8. Линейное взаимно однозначное отображение f : P → Q называется аффинным отображением (∆ ≠ 0). Если ∆ = 0, то линейное отображение называется вырожденным, потому что плоскость P отображается либо на прямую, либо в точку на плоскости Q.
Простыми словами, аффинные преобразования не комкают плоскость. Они могут осуществлять параллельный перенос плоскости, растягивать и сжимать её, сдвигать, переворачивать (как блин) и поворачивать (как барабан в "Поле чудес"). Композиция двух последовательных аффинных преобразований есть аффинное преобразование.
Например, отображения из пп. 18.4 и 18.5 являются аффинными преобразованиями, а из пп. 18.2 и 18.3 — нет.
Замечание 18.9. Если аффинное преобразование f : P → Q заданно
формулами |
x′ = a1x + b1y + c1 |
|
|
|
|
|
|
|
{ y′ = a2x + b2y + c2 |
, |
(1) |
52
то полный прообраз оси {x′ = 0} Q есть прямая {a1x + b1y + c1 = 0} P , а полный прообраз оси {y′ = 0} Q есть прямая {a2x + b2y + c2 = 0} P .
Цель этого параграфа — представить произвольное аффинное преобразование в виде композиции простых и наглядных аффинных преобразований.
Определение 18.10. Преобразования |
{ y′′ = y + c2 |
||
{ y′′ = y |
1 |
и |
|
x = x + c |
|
|
x = x |
называются (параллельными) переносами плоскости P вдоль плоскости R соответственно на векторы c1i и c2j.
Ясно, что композиция этих преобразований, т.е.
{x′ = x + c1 y′ = y + c2
есть перенос плоскости на вектор c1i + c2j. Замечание 18.11. Линейное отображение
x′ = a1x + b1y + c1 |
|
|||
{ y′ = a2x + b2y + c2 |
(1) |
|||
есть композиция отображения |
|
|
|
|
x′ = a1x + b1y |
|
|
|
x′ = x + c1 |
{ y′ = a2x + b2y |
и переноса |
{ y′ = y + c2 . |
||
Определение 18.12. Преобразования |
|
|||
{ y′′ = y |
|
и |
{ y′′ |
= βy |
x = αx |
|
x = x |
при α > 1 и β > 1 называются растяжениями, а при 0 < α < 1 и 0 < β < 1
— сжатиями плоскости P вдоль осей x и y соответственно. Композиция этих |
|
преобразований |
{ y′′ = βy |
|
|
|
x = αx |
называются сжатиями/растяжениями плоскости P .
Замечание 18.13. 1) Нетрудно видеть, что при аффинном преобразова-
нии |
x′ = a1x + b1y |
|
|
|
{ y′ = a2x + b2y |
53
полный прообраз оси {x′ = 0} Q есть прямая {a1x + b1y = 0} P , а полный прообраз оси {y′ = 0} Q есть прямая {a2x + b2y = 0} P .
Исследуем это аффинное преобразование детально.
Замечание 18.14. 1) Если все четыре элемента главного определителя
∆ = a1 b1 или три из них равны нулю, то отображение не является аф- a2 b2
финным. |
|
|
|
|
a1 |
= 0 |
b1 |
= 0 |
|
2) Если { a2 |
= 0 |
или { b2 |
= 0 |
, то отображение не является аффинным. |
3)Если a2 = b1 = 0, то видно, что аффинное преобразование
{x′ = a1x y′ = b2y
является сжатием/растяжением.
4)Если a1 = b2 = 0, то видно, что аффинное преобразование
{x′ = b1y y′ = a2x
представимо в виде композиции симметрии
{x′ = y′′ y′ = x′′
и сжатия/растяжения |
x′′ = a2x |
|
|
|
{ y′′ = b1y . |
Другими словами, в виде композиции
{x′ = y′′ = b1y y′ = x′′ = a2x
5)При a1 = 0 и a2b1b2 ≠ 0 аффинное преобразование
{x′ = a1x + b1y
y′ = |
b2y |
будет изучено ниже в пункте А.
6)При b1 = 0 и a1a2b2 ≠ 0 аффинное преобразование
{x′ = a1x
y′ = a2x + b2y
54
будет изучено ниже в пункте Б.
7) При a1 = 0 и a2b1b2 ≠ 0 аффинное преобразование имеет вид
{
x′ = b1y y′ = a2x + b2y .
Это преобразование можно представить в виде композиции симметрии
{x′ = y′′ y′ = x′′
и отображения из пункта 5) |
|
x′′ = a |
x + b2y |
{ y′′ = 2 |
b1y . |
Другими словами, можно представить в виде композиции |
|
x′ = y′′ = |
b1y |
{ y′ = x′′ = a2x + b2y . |
8) При b2 = 0 и a1a2b1 ≠ 0 аффинное преобразование имеет вид
x′ = a1x + b1y |
|
{ y′ = a2x |
. |
Это преобразование можно представить в виде композиции двух преобразо-
вание: симметрии |
x = y′′ |
|
|
||
|
{ y′′ |
= x′′ |
и отображения из пункта 6)
{x′′ = a2x
y′′ = a1x + b1y .
Другими словами можно представить в виде композиции
x′ = y′′ = a1x + b1y |
|
{ y′ = x′′ = a2x |
. |
9) Если все элементы главного определителя отличны от нуля и ∆ ≠ 0, то аффинное преобразование имеет общий вид
{x′ = a1x + b1y y′ = a2x + b2y .
55
Оно будет изучено в пункте С.
Случай А.
В этом пункте мы опишем геометрическую интерпретацию преобразова-
ния вида |
x′ = a |
|
|
|
|
|
x + b1y |
|
где a1b1b2 ̸= 0. |
||
|
{ y′ = |
1 |
b2y |
, |
Замечание 18.15. 1) Это преобразование можно записать следующим образом
|
|
x′ = a1x + b1y = |
a1 |
|
2 |
2 |
( |
|a1| |
|
|
|
|
|a1 |
| |
|
|
b1 |
y) , |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 + b1 |
√ |
|
|
|
x + |
|
|
|
|
· |
√ |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|a1| |
|
|
a1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a12+b12 |
|
|
a12+b12 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y′ = |
b2y |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
или |
короче |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ y′′ |
= βy |
· |
x + sin φ |
· |
y) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
= α(cos φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
и где |
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
α = |
|
√a12 + b12 , β = b2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|a1| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
cos φ = |
|
|
|a1| |
|
> 0 , |
|
|
sin φ = |
|a1 |
| |
|
|
|
|
b1 |
|
, |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a2 + b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
a2 + b2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
φ |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
= cos φ |
|
i + |
|||
где |
— угол между |
осью x и единичным вектором нормали n |
|
· |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
1 |
|
|
sin φ·j к прямой a1x+b1y = 0 (ось φ направлена против часовой стрелки: ). 2) Преобразование
{x′ = α(cos φ · x + sin φ · y) y′ = βy
можно представить в виде композиции трёх преобразований: симметрии (см. пп. 18.5 или возможно 18.4.1))
{
x′ = |αα| x′′ y′ = |ββ|y′′ ,
сжатия/растяжения { x′′ = |α| x′′′
y′′ = |β|y′′′
и преобразования |
x′′′ = cos φ |
|
|
|
|
|
|
· |
x + sin φ |
· |
y |
|
|
|
{ y′′′ = y |
|
|
. |
56
Другими словами в виде композиции |
|
|
|
|
||||||||
x′ = |
α |
x′′ = α x′′′ |
= α(cos φ · x + sin φ · y) . |
|||||||||
|α| |
||||||||||||
{ y′ = |
β |
y′′ = β y′′′ = β y |
|
|
|
|
||||||
|β| |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|a1| |
|
|
π |
|
π |
||
Заметим, что т.к. cos φ = |
√ |
|
|
> 0, то |
− |
2 |
< φ < |
2 . |
||||
a2 |
+b2 |
|||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
Определение 18.16. Преобразование вида
{x′ = cos φ · x + sin φ · y y′ = y
при −π2 < φ < π2 называется горизонтальным сдвигом. Рис.
Замечание 18.17. 1) Видно, что прообразом оси y′ = {x′ = 0} при таком сдвиге является прямая cos φ·x+ sin φ·y = 0, а прообразом оси x′ = {y′ = 0} является ось x = {y = 0}.
2) Видно, что при сдвиге ось x = {y = 0} отображается на ось x′ = {y′ = 0} с коэффициентом сжатия cos φ.
3)Если 0 < φ < π2 , то прямая cos φ · x + sin φ · y = 0 при сдвиге поворачивается на угол φ по часовой стрелке и становится осью y′ = {x′ = 0},
4)Если −π2 < φ < 0, то прямая cos φ · x + sin φ · y = 0 при этом сдвиге
′=
{x′ = 0}.
5) Очевидно, что при φ = 0 сдвиг превращается в тождественное отображение.
Случай Б.
В этом пункте мы опишем геометрическую интерпретацию преобразова-
ния вида |
x′ = a1x |
|
|
|
|
где a1a2b2 ̸= 0. |
|
|
{ y′ = a2x + b2y |
, |
Замечание 18.18. 1) Это преобразование можно записать следующим
образом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x′ = a1x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = a2x + b2y = |
b2 |
|
|
|
|
|b2| |
|
|
a2 |
|
|
|b2| |
|
, |
|
|
|
a2 |
+ b2 |
x + |
y |
|||||||||||
|
|b2|√ |
|
|
|
) |
|||||||||||
|
|
· √a22+b22 |
√a22+b22 |
|||||||||||||
|
|
|
2 |
2 |
( b2 |
|
|
|||||||||
или |
короче |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ y′′ |
= β(sin ψ · x + cos ψ · y) |
, |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x = αx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
57
где |
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α = a1 , |
β = |
√a22 + b22 , |
|
|||||||||||
|
|b2| |
|
|||||||||||||
cos ψ = |
|
|b2| |
|
> 0 , |
sin ψ = |
|b2 |
| |
|
|
|
a2 |
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
√a22 + b22 |
b2 |
· √a22 + b22 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
и где ψ — угол между осью y и вектором нормали n2 = sin ψ · i + cos ψ · j к прямой a2x + b2y = 0 (ось ψ направлена по часовой стрелке: ).
2) Преобразование
{x′ = αx
y′ = β(sin ψ · x + cos ψ · y)
может быть разложено в композицию трёх преобразований: симметрии (см. пп. 18.5 или возможно 18.4.1))
|
|
|
|
|
|
|
|
x′ |
= |
|
α |
|
x′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ y′ = |
|
|α| |
|
, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
β |
y′′ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|β| |
|
|
|
|
|||||||||
сжатия/растяжения |
|
|
|
|
|
|
|
x′′ = α x′′′ |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
и преобразования |
|
|
|
|
|
{ y′′ = ||β||y′′′ |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x′′′ = x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Другими словами |
|
|
{ y′′′ = sin ψ · x + cos ψ · y . |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x′ |
= |
|
α |
x′′ = α x′′′ |
= αx |
|
|
|
|
|
||||||||
|α| |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
{ y′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
β |
y′′ = β y′′′ = β(sin ψ · x + cos ψ · y) |
||||||||||||||||
|β| |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|b2| |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
Заметим, что т.к. cos ψ = |
√ |
|
|
> 0, то |
− |
2 |
< ψ < |
2 . |
||||||||||
a2 |
+b2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 18.19. Преобразование
{x′ = x
y′ = sin ψ · x + cos ψ · y
при −π2 < ψ < π2 называется вертикальным сдвигом. Рис.
Замечание 18.20. 1) Видно, что прообразом оси x′ = {y′ = 0} при таком сдвиге является прямая sin ψ ·x+ cos ψ ·y = 0, а прообразом оси y′ = {x′ = 0} является ось y = {x = 0}.
58
2) Видно, что при сдвиге ось y = {x = 0} отображается на ось y′ = {x′ = 0} с коэффициентом сжатия cos ψ.
3)Если 0 < ψ < π2 , то прямая sin ψ · x + cos ψ · y = 0 при сдвиге поворачивается на угол ψ против часовой стрелки и становится осью x′ = {y′ = 0},
4)Если −π2 < φ < 0, то прямая sin ψ · x + cos ψ · y = 0 при сдвиге поворачивается на угол ψ по часовой стрелке и становится осью x′ = {y′ = 0}.
5)Очевидно, что при ψ = 0 сдвиг превращается в тождественное отображение.
Случай В.
В этом пункте мы опишем общий случай, когда преобразование имеет вид
{x′ = a1x + b1y
y′ = a2x + b2y , где ∆ ≠ 0 и a1a2b1b2 ≠ 0.
Замечание 18.21. 1) По аналогии со случаями А и Б это преобразование можно записать в виде
x′ = a1x + b1y = |
a1 |
|
2 |
|
2 |
( |
|
|a1| |
|
|
|a1 |
| |
|
|
|
|
b1 |
y) |
||||||||||
|
|
|
|
a1 |
+ b1 |
√ |
|
|
|
x + |
|
|
· |
√ |
|
|
||||||||||||
|a1| |
a1 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
a12+b12 |
|
a12+b12 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
b2 |
|
2 |
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y′ = a x + b y = |
|
|
|
a |
+ b |
|
|
|
| |
| |
|
|
|
|
x + |
|
| |
| |
|
y |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|b2|√ 2 |
|
2 ( b2 |
|
· √a22+b22 |
|
|
|
|
√a22+b22 |
) |
||||||||||||||||
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
или короче
где
|
|
{ y′′ |
= β(sin ψ ··x + cos ψ ·· y) |
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
x = α(cos φ |
x + sin φ |
|
y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
α = |
√a12 + b12 , |
β = |
√a22 + b22 , |
|
|
||||||||||||||||||||||
|a1| |
|b2| |
|
|
||||||||||||||||||||||||
cos φ = |
|
|
|a1| |
|
> 0 , |
|
sin φ = |a1| |
|
|
|
|
b1 |
, |
||||||||||||||
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
· |
|
√ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
a2 |
+ b2 |
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
+ b2 |
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
||
|
b2 |
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
||||
sin ψ = |
| |
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
, |
cos ψ = |
|
|
|
|
| |
|
|
| |
|
|
|
> 0 , |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
b2 |
· |
|
√a22 + b22 |
|
√a22 + b22 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и где φ — угол между осью x и единичным вектором нормали n1 = cos φ ·i + sin φ·j к прямой a1x+b1y = 0 (ось φ направлена против часовой стрелки: ), а ψ — угол между осью y и вектором нормали n2 = sin ψ ·i+cos ψ ·j к прямой a2x + b2y = 0 (ось ψ направлена по часовой стрелке: ).
2) Преобразование
{x′ = α(cos φ · x + sin φ · y) y′ = β(sin ψ · x + cos ψ · y)
59
может быть разложено в композицию трёх преобразований: симметрии (см. пп. 18.5 или возможно 18.4.1))
{
x′ = |αα| x′′ y′ = |ββ|y′′ ,
сжатия/растяжения { x′′ = |α| x′′′
y′′ = |β|y′′′
и преобразования
Другими словами
{
x′ = y′ =
x′′′ = cos φ x + sin φ |
y |
{ y′′′ = sin ψ ··x + cos ψ |
·· y . |
|αα| x′′ = α x′′′ = α(cos φ · x + sin φ · y) |ββ|y′′ = β y′′′ = β(sin ψ · x + cos ψ · y) .
|
Заметим, что т.к. cos φ = |
√ |
|b1| |
> 0, то |
− |
π |
< ψ < |
π |
, и т.к. cos ψ = |
|||||||
|
a2 |
+b2 |
2 |
2 |
||||||||||||
|
|b2| |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
||||
√ |
|
|
> 0, то |
− |
2 |
< ψ < |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
+b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 18.22. Преобразование
{x′ = cos φ · x + sin φ · y y′ = sin ψ · x + cos ψ · y
при −π2 |
< φ < π2 , −π2 < ψ < π2 |
и −π2 < φ + ψ < π2 называется напряжением. |
|||||
Рис. |
|
|
18.23. 1) |
Главный |
определитель |
напряжения ∆ = |
|
|
Замечание |
||||||
|
cos φ |
sin φ |
= cos φ cos ψ − sin φ sin ψ = cos(φ + ψ) ̸= 0, т.е. φ + ψ ̸= ±π2 . |
||||
sin ψ |
cos ψ |
||||||
|
|
|
|
cos(φ + ψ) > 0 |
π < φ + ψ < π |
||
|
Мы выбираем |
|
, т.е. −2 |
2 , потому что при |
отрицательном ∆ напряжение получается с переворотом плоскости, который был уже учтён при применении соответствующей симметрии в п. 18.21.2).
2)Видно, что прообразом оси y′ = {x′ = 0} при напряжении является прямая cos φ · x + sin φ · y = 0, а прообразом оси x′ = {y′ = 0} является прямая sin ψ · x + cos ψ · y = 0.
3)Видно, что при напряжении ось x = {y = 0} отображается на пря-
мую sin ψ · x′ − cos φ · y′ = 0, а ось y = {x = 0} отображается на прямую cos ψ · x′ − sin φ · y′ = 0.
60