AlgAndGeom-1

Определение 10.21. Уравнение (12) называется уравнением связки плоскостей с центром в точке M0 = P1 ∩ P2 ∩ P3.

Уравнение связки плоскостей можно записать короче в виде

где мы уже обозначили P1(x, y, z) = A1x + B1y + C1z + D1, P2(x, y, z) =

A2x + B2y + C2z + D2, P3(x, y, z) = A3x + B3y + C3z + D3.

Лемма 10.22. Уравнение плоскости из связки плоскостей с центром

Доказательство. Подставим в уравнение (13) вместо (x, y, z) сначала координаты точки M1 = (x1, y1, z1), получим тождество 0 ≡ 0, а затем координаты точки M2 = (x2, y2, z2), получим тождество 0 ≡ 0, что означает, что плоскость (13) из связки (12) проходит через точки M1 и M2.

§11. Прямая в пространстве

Определение 11.1. Если плоскости

{

не параллельны (т.е. N1 N2), то P1 ∩ P2 = L — прямая. Уравнения (1) называются уравнениями прямой L в пространстве R3, заданной пересечением двух плоскостей. Рис.

31

−→

Замечание 11.2. По аналогии с опред. 9.1.2) любой вектор ℓ в пространстве R3, параллельный прямой L, называется направляющим вектором этой прямой. Если прямая L задана уравнениями (1), то очевидно её направляю-

Доказательство. Рис. Пусть M = (x, y, z) — переменная точка на прямой L.

−−−→

Тогда вектор M0M = r−r0 = (x−x))i+(y−y0)j+(z−z0)k лежит на прямой L

−→

и поэтому параллелен направляющему вектору ℓ . По 3-му критерию коллинеарности 7.5 получаем уравнение (2), а по 2-му критерию коллинеарности 3.9 получаем уравнение (3).

Определение 11.4. Уравнения (3) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Лемма 11.5. Параметрические уравнения прямой L R3, проходящей

→−

через точку M0 = (x0, y0, z0) параллельно вектору ℓ = l1i + l2j + l3k в векторной форме есть

Доказательство. Рис. Пусть M = (x, y, z) — переменная точка на прямой L.

−−−→

Тогда вектор M0M = r − r0 = (x − x))i + (y − y0)j + (z − z0)k лежит на пря-

−→

мой L и поэтому параллелен направляющему вектору ℓ . По 1-му критерию

−→

коллинеарности 1.14 получаем уравнение r − r0 = ℓ t, которое эквивалентно уравнению (4).

32

Запишем теперь уравнение (4) в координатной форме

xi + yj + yk = x0i + y0j + z0k + (l1i + l2j + l3k)t.

Приводя подобные члены в правой части, по следствию 3.8 получаем уравнения (5).

−→

Замечание 11.6. Уравнение (4) r(t) = r0 + ℓ t задаёт систему координат на прямой L. Рис. Значению t = 0 соответствует конец вектора r(0) = r0, т.е. точка M0 = (x0, y0, z0), которая есть начало координат O на прямой. Значе-

−→

нию t = 1 соответствует конец вектора r(1) = r0 + ℓ , которую естественно рассматривать как точку с координатой 1 на прямой.

Лемма 11.7. Уравнение прямой L, проходящей через две точки M1 = (x1, y1, z1) и M2 = (x2, y2, z2), есть

уравнение (6) является искомым.

§12. Теоремы о расстояниях и общем перпендикуляре

Теорема 12.1. Расстояние d(M1, L) от точки M1 до прямой L, прохо-

33

Теорема 12.2. Расстояние d(L1, L2) между скрещивающимися прямы-

−→

ми−→L1 и L2, проходящими через точки M1 и M2 параллельно векторам ℓ 1 и ℓ соответственно, есть

расстояние есть высота параллелограмма, построенного на этих векторах.

основания параллелепипеда (см. замеч. 7.6). Отсюда получаем требуемую формулу.

Теорема 12.3. (Об общем перпендикуляре.) Пусть скрещивающиеся пря-

мые L1 и L2 проходят через точки M1 и M2 параллельно направляющим

−→ −→

векторам ℓ 1 и ℓ 2 соответственно. Тогда уравнения их общего перпенди-

куляра L, заданного как пересечение двух плоскостей в векторной форме

(→− [−→ −→ ])

34

Отсюда получаем уравнения общего перпендикуляра L.

35

Глава 3. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

§13. Эллипс

Замечание 13.1. Рис.: Пусть F1 и F2 — две разные фиксированные точки. Пусть M — переменная точка. Обозначим r1 = F1M и r2 = F2M. Рассмотрим геометрическое место точек, удовлетворяющее равенству

где a > 0.

Определение 13.2. (1-е геометрическое определение эллипса.) Эллипсом называется геометрическое место точек {M}, каждая точка которого удовлетворяет уравнению (1). Точки F1 и F2 называются фокусами. Уравнение (1) называется первым геометрическим уравнением эллипса.

Замечание 13.3. Обозначим F1F2 = 2c. Из неравенства треугольника имеем r1 + r2 > F1F2, следовательно a > c. Выберем декартову систему координат так, чтобы ось Ox походила через фокусы, а ось Oy проходила через середину отрезка F1F2. Рис. F1 = (−c, 0), F2 = (c, 0), M = (x, y).

Теорема 13.4. В выбранной системе координат эллипс имеет уравнение

где b2 = a2 − c2.

Доказательство. Рис.

√

r1 = F1M = (x + c)2 + y2,

√

r2 = F2M = (x − c)2 + y2.

Подставим в

36

удовлетворяет уравнению (3). Прямая D называется директрисой эллипса, а точка F , как будет показано, совпадает с ближайшем к директрисе фокусом эллипса. Уравнение (3) называется вторым геометрическим уравнением эллипса. Рис.

Замечание 13.10. Выберем декартову систему координат так, чтобы

1)ось Ox проходила через точку F перпендикулярно директрисе D,

2)точка F имела абсциссу c > 0 (это выбор оси Oy),

3)директриса имела уравнение x = x0, где x0 > c. Рис.

Обозначим координату точки пересечения эллипса с осью Ox через a, тогда r = a − c и d = x0 − a. Расстояния r и d должны удовлетворять

уравнению (3), поэтому

a − c = ε, x0 − a

откуда легко найти x0 = a−c+εa. Т.о. уравнение директрисы в этой системе

ε

координат есть

Теорема 13.11. Если выполнено условие ε = e, то уравнение (3) приво-

38

оси Oy, то эллипс имеет две директрисы

x = ±a2 . c

Рис.

Теорема 13.14. Уравнение касательной к эллипсу

в точке M1 = (x1, y1), лежащей на этом эллипсе, имеет вид

Рис.

Доказательство. Во-первых, уравнение (6) — первой степени, поэтому является уравнением прямой.

Во-вторых, постановка (x, y) = (x1, y1) в уравнения (2) и (6) обращает их в тождества, что означает, что точка (x1, y1) лежит и на эллипсе, и на прямой.

В-третьих, эллипс имеет со всякой прямой две точки пересечения: либо две разные вещественные, либо две совпадающие вещественные точки (касание прямой), либо две разные мнимые точки. Поэтому, мы должны доказать, что прямая (6) имеет две совпадающие вещественные точки пересечения с эллипсом. Уравнение (6) запишем в виде

y = b2 (1 − x1x) y1 a2

и подставим в уравнение (2), получим квадратное уравнение (x − x1)2 = 0, которое имеет двукратный корень x1. Это означает, что прямая (6) является касательной к эллипсу (6).

39

§14. Гипербола

Замечание 14.1. Рис.: Пусть F1 и F2 — две разные фиксированные точки. Пусть M — переменная точка. Обозначим r1 = F1M и r2 = F2M. Рассмотрим геометрическое место точек {M}, разность расстояний которых до точек F1 и F2 есть величина постоянная

где a > 0.

Это уравнение эквивалентно системе "ИЛИ"

[

первое уравнение которого описывает часть геометрического места точек, расположенную ближе к точке F2, а второе — часть, расположенную ближе к точке F1.

Определение 14.2. (1-е геометрическое определение гоперболы.) Гиперболой называется геометрическое место точек {M}, каждая точка которого удовлетворяет уравнению (1). Точки F1 и F2 называются фокусами. Уравнение (1) называется первым геометрическим уравнением гиперболы.

Замечание 14.3. Обозначим F1F2 = 2c. Из неравенства треугольника имеем r1 − r2 < F1F2, следовательно a < c. Выберем декартову систему координат так, чтобы ось Ox походила через фокусы, а ось Oy проходила через середину отрезка F1F2. Рис. F1 = (−c, 0), F2 = (c, 0), M = (x, y).

Теорема 14.4. В выбранной системе координат гипербола имеет уравнение

√ √

(x + c)2 + y2 − (x − c)2 + y2 = 2a,

40