AlgAndGeom-1
.pdf
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
(x + c)2 + y2 = 2a + (x − c)2 + y2, |
|
|
|||||||||||||||||||||||
(x + c)2 + y2 = 4a2 + 4a |
|
|
|
|
|
|
|
c)2 + y2, |
|||||||||||||||||||||
(x |
− |
c)2 + y2 + (x |
− |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
cx |
|
a2 |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
x |
|
|
c 2 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
√ |
( |
|
− |
|
) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
x |
2 |
2 |
cx + a |
4 |
|
|
2 |
|
2 |
− |
2cx + c |
2 |
+ y |
2 |
|
, |
||||||||||||
c |
|
− 2a |
|
= a√ x |
|
|
|
|
) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
c2x2 + a4 = a2x2(+ a2c2 + a2y2, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a4 − a2c2 = (a2 − c2)x2 + a2y2, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2), |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(c2 − a2)x2 − a2y2 = a2(c2 − a2), |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
c2 − a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Обозначая c2 − a2 через b2, получим уравнение (2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2) Подставим теперь r1 и r2 в уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r2 − r1 = 2a |
|
|
|
|
|
|
|
(1.2) |
|
и сделаем аналогичные выкладки как в пункте 1), получим то же уравнение (2).
Это означает, что обе части гиперболы описываются одним уравнением (2).
Определение 14.5. Уравнение x2 − y2 = 1 называется каноническим
a2 b2
уравнением гиперболы. Точки пересечения с осью Ox называются вершинами гиперболы. Длина отрезка F1F2 называется фокусным расстоянием. Числа 2a и 2b называются вещественной и мнимой осями гиперболы соответственно. Величина p = ba2 называется фокальным параметром гиперболы.
Фокальный параметр равен расстоянию от фокуса до гиперболы по вер-
2 |
2 |
2 |
тикали. Рис. Подставим x = c в xa2 |
− yb2 |
= 1, получим y = ±ba . |
Теорема 14.6. Прямые y = ±ab x являются асимптотами гиперболы (2).
Доказательство. Из математического анализа известно, что если прямая y = kx + ℓ является асимптотой функции y = f(x), то
k = xlim |
f(x) |
, |
ℓ = xlim [f(x) − kx]. |
|
|||
x |
|||
→±∞ |
|
|
→±∞ |
√
Из уравнения (2) следует, что y = f(x) = ±ab x2 − a2. Поэтому
|
±ab √ |
|
|
|
|
k = xlim |
x2 − a2 |
= ± |
b |
, |
|
|
x |
a |
|||
→±∞ |
|
|
|
|
|
41
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
b |
x |
|
||
ℓ = lim [f(x) |
|
kx] = |
lim |
|
|
|
x2 |
|
a2 |
|
|||||||||
− |
[±a |
|
− |
|
] = |
||||||||||||||
x→±∞ |
|
|
x→±∞ |
√ |
|
|
a |
||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
lim |
|
|
x2 |
− |
a2 |
− |
x |
= 0. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= ±a x→±∞ |
(√ |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 14.7. О построении гиперболы. Рис.
Определение 14.8. Число e = ac называется эксцентриситетом гиперболы.
Очевидно, что эксцентриситет гиперболы e > 1. Эксцентриситет является характеристикой сплюснотости гиперболы. Рис.
Замечание 14.9. Пусть F — фиксированная точка, и D — фиксированная прямая, такая что F / D. Пусть M — переменная точка. Обозначим r = F M и d = d(F, D). Пусть ε > 1 — фиксированное число. Рассмотрим геометрическое место точек, удовлетворяющее равенству
r |
= ε. |
(3) |
|
d |
|||
|
|
Определение 14.10. (2-е геометрическое определение гиперболы.) Гиперболой называется геометрическое место точек {M}, каждая точка которого удовлетворяет уравнению (3). Прямая D называется директрисой гиперболы, а точка F , как будет показано, совпадает с ближайшем к директрисе фокусом гиперболы. Уравнение (3) называется вторым геометрическим уравнением гиперболы. Рис.
Замечание 14.11. Выберем декартову систему координат так, чтобы
1)ось Ox проходила через точку F перпендикулярно директрисе D,
2)точка F имела абсциссу c > 0 (это выбор оси Oy),
3)директриса имела уравнение x = x0, где x0 < c. Рис.
Обозначим координату точки пересечения гиперболы с осью Ox через a, тогда этой точки гиперболы r = c − a и d = a − x0. Расстояния r и d должны удовлетворять уравнению (3), поэтому
|
|
|
c − a |
= ε, |
|
|
|
|
a − x0 |
||
|
|
|
|
||
откуда легко найти x0 |
= a−c+εa. Т.о. уравнение директрисы в этой системе |
||||
координат есть |
|
ε |
|
||
|
a − c + εa |
|
|
||
|
x = |
. |
(4) |
||
|
|
ε |
|
Заметим, что для гиперболы ε > 1 и e > 1.
42
Если формально положить ε = e = ac , то уравнение директрисы (4) запишется в виде
x = |
a − c + ea |
≡ |
a2 |
. |
(5) |
e |
|
||||
|
c |
|
Теорема 14.12. Если выполнено условие ε = e, то уравнение (3) приво-
дится к каноническому уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||||||||||
|
|
|
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Доказательство. Рис. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||
r = F M = √2(x − c)2 + y2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
d = |
|
a |
|
|
− x. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Подставим эти расстояния и e = c |
в уравнение (3), получим |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
a2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
(x − c)2 + y2 = |
|
|
( |
|
|
− x) , |
||||||||||||||||||||||
|
a |
c |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
c x |
|
, |
||||||||||||
(x |
2− c) 2+ |
|
|
|
|
= ( |
|
|
− |
|
|
|
) |
2 |
|
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
(c |
− a )x |
|
|
− |
y2 = c2 |
− |
a2, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
a2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
+ |
|
= 1, |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
a2 |
c2 − a2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 14.13. Т.к. гипербола x2 − y2 = 1 симметрична относительно
a2 b2
оси Oy, то она имеет две директрисы
x = ±a2 . c
Рис.
Теорема 14.14. Уравнение касательной к гиперболе
x2 |
− |
y2 |
|
|
|
|
= 1 |
(2) |
|
a2 |
b2 |
43
в точке M1 = (x1, y1), лежащей на этой гиперболе, имеет вид
x1x |
− |
y1y |
= 1. |
(6) |
a2 |
b2 |
Рис.
Доказательство. Во-первых, уравнение (6) — первой степени, поэтому является уравнением прямой.
Во-вторых, постановка (x, y) = (x1, y1) в уравнения (2) и (6) обращает их в тождества, что означает, что точка (x1, y1) лежит и на гиперболе, и на прямой.
В-третьих, гипербола имеет со всякой прямой две точки пересечения: либо две разные вещественные, либо две совпадающие вещественные точки (касание прямой), либо две разные мнимые точки. Поэтому, мы должны доказать, что прямая (6) имеет две совпадающие вещественные точки пересечения с гиперболой. Уравнение (6) запишем в виде
y = b2 (1 − x1x) y1 a2
и подставим в уравнение (2), получим квадратное уравнение (x − x1)2 = 0, которое имеет двукратный корень x1. Это означает, что прямая (6) является касательной к гиперболе (6).
§15. Парабола
Определение 15.1. Геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от прямой D и точки F / D, называется параболой. Прямая D называется директрисой, точка F — фокусом параболы. Рис.
r = d |
(1) |
(Обратим внимание dr = 1, т.е. для параболы ε = 1.)
Замечание 15.2. Обозначим AF = 2p. Поведем ось Ox через точку F перпендикулярно директрисе D, а ось Oy через середину отрезка AF .
В этой декартовой системе координат A = |
|
p |
, 0 , F = |
p |
, 0 . Уравнение |
директрисы есть x = −p2 . |
(− |
2 |
) |
2 |
) |
|
( |
Теорема 15.3. В выбранной декартовой системе координат парабола
имеет уравнение |
|
y2 = 2px. |
(2) |
44
Доказательство. Рис. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r = F M = √(x + − |
p |
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
) |
+ y2, |
||||||||||||
|
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
d = |
p |
+ x. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Т.к. r = d, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√(x − |
|
p |
2 |
|
|
|
|
p |
|
|
|
||||
|
|
|
) |
|
|
+ y2 = |
|
|
+ x, |
|||||||
|
2 |
|
|
2 |
y2 = 2px.
Замечание 15.4. Нетрудно видеть, что вертикальная прямая x( = )p2 , проходящая через фокус, пересекает параболу y2 = 2px в точке F = p2 , p . Поэтому p называется фокальным параметром параболы.
§16. Полярные координаты
Определение 16.1. Вы берем на плоскости точку O и назовём её полюсом. Рассмотрим к.-л. прямую, проходящую через полюс O, и назовём её полярной осью. В качестве координат произвольной точки M на плоскости выберем два числа: φ — угол в радианах между полярной осью и отрезком OM и ρ — расстояние от полюса O до точки M. Координаты φ и ρ называются полярными, а система координат — полярной системой координат.
Рис. M = (φ, ρ).
Замечание 16.2. Координата φ определена с точностью до слагаемого 2πk, где k = ±1, ±2, . . . . Другими словами пары чисел (φ, ρ), (φ ± 2π, ρ), (φ ±4π, ρ), . . . определяют одну и ту же точку M. При любом φ координаты (φ, 0) есть координаты полюса O.
Рис: Оси φ и ρ.
Замечание 16.3. О связи с декартовыми координатами. Рис.
x = ρ cos φ |
|
|
φ = arctan xy |
|
|||
{ y = ρ sin φ |
(1), |
{ |
|
|
|
(2). |
|
ρ = |
|
x2 + y2 |
|||||
Замечание 16.4. О графиках кривых в |
полярных координатах. |
||||||
|
√ |
|
1)Если φ0 — фиксированный угол, то уравнение φ = φ0 описывает луч, исходящий из полюса. (Аналог x = x0.) Рис.
2)Если ρ0 > 0 — фиксированное число, то уравнение ρ = ρ0 описывает окружность с центром O. (Аналог y = y0.) Рис.
45
3)Спираль Архимеда ρ = kφ, где k > 0, φ > 0. (Аналог y = kx.) Рис.
4)Логарифмическая спираль ρ = eφ. (Аналог y = ex.) Рис.
5)Прямая x = x0 имеет в полярных координатах уравнение ρ = cosx0φ.
6)Прямая y = y0 имеет в полярных координатах уравнение ρ = siny0φ.
7) Окружность x2 + y2 = R2 имеет в полярных координатах уравнение
ρ= R.
8)Окружность ρ = 2a sin φ. Рис.
9)Окружность ρ = 2a cos φ. Рис.
10)4-х лепестковая роза ρ = a sin 2φ. Рис.
11)4-х лепестковая роза ρ = a cos 2φ. Рис.
12)3-х хлепестковая роза ρ = a sin 3φ. Рис.
13)3-х лепестковая роза ρ = a cos 3φ. Рис.
14)Лемниската Бернулли (геометрическое место точек {M}, произведе-
ние расстояний r1 и r2 которых до двух данных точек F1, F2 (фокусов) равно квадрату половины фокусного расстояния, т.е. если F1F2 = 2c, то r1r2 = c2) (лемниската от греч. lemniskos — лента. В древности "лемнискатой" называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных соревнованиях.)
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
= F M = (x + c)2 + y2, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r1 |
= F1M = |
√(x c)2 + y2. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= c2, |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x + c)2 + y2 |
|
|
|
(x |
|
− |
c)2 + y2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
] |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
(x + c)2 + y2 |
|
|
|
(x |
− |
c)2 + y2 |
|
= c4, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 +[y2 + c2 + 2cx] [x2 + y2 + c2 |
|
|
2cx = c4 |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x)2( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|||||||
|
x2 |
+ y2 |
) |
2 + 2c2 |
|
|
|
y2 |
|
|
|
c4 |
|
|
|
|
4c2x2 )= c4, |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
( |
x |
2 |
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
(2 |
x |
2+ |
|
|
|
|
|
)2+2 |
|
|
− |
|
2 |
x |
2 |
= 0, |
|
||||||||||||||
|
|
( |
|
+ y |
) |
|
+ 2c |
+ 2c y |
|
− 4c |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( |
x |
2 |
|
|
|
2 |
) |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
x |
2 |
|
|
|
2 |
y |
2 |
|
= 0, |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ y |
|
|
|
|
− 2c |
|
|
|
+ 2c |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
2 |
+ y |
2 |
|
|
2 |
= 2c |
2 |
|
x |
2 |
|
− y |
2 |
) |
. |
|
|
|
|
|
|
(3) |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Подставим |
формулы (1) в уравнение (3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ρ4 = 2c2ρ2 |
|
|
cos2 φ − sin2 φ |
, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ2 =(2c2 cos 2φ, |
|
|
|
|
) |
|
|
|
Получаем уравнение лемнискаты Бернулли в полярных координатах
√
ρ = a cos 2φ,
46
√
где a = c 2. Рис.
§17. Эллипс, гипербола и парабола
вполярных координатах
A.Эллипс. По опред. 13.2 эллипс имеет уравнение
r1 + r2 = 2a,
где a > 0, а r1 = F1M и r2 = F2M суть расстояния от произвольной точки M эллипса до фокусов F1 и F2 соответственно. Фокусное расстояние есть
F1F2 = 2c.
Выберем теперь декартовы координаты так, чтобы ось Ox проходила через фокусы F1 и F2, а ось Oy проходила через фокус F1. Рис. Тогда F1 = (0, 0),
F2 = (2c, 0) и
|
|
|
|
|
r1 = F1M = x2 + y2, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
= F |
M = |
|
|
|
x |
|
|
|
2 |
c |
|
2 |
|
+ |
y2. |
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
(√ |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Запишем эти расстояния в |
полярных координатах (φ, ρ), т.е. сделаем за- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
мену |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = ρ cos φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Получим |
|
|
|
|
|
|
|
{ y = ρ sin φ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
ρ, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
r1 = √x + y |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
φ. |
|||||||||||||||
|
r2 = √(ρ cos φ − 2c) |
+ ρ |
sin |
||||||||||||||||||||||||||||
Подставим эти расстояния в уравнение эллипса r1 + r2 = 2a, получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ρ + √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2a, |
||||||||||||||||||||
(ρ cos φ − 2c)2 + ρ2 sin2 φ |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
ρ + ρ2 cos2 φ |
|
|
|
4cρ cos φ + 4c2 + ρ2 sin2 φ = 2a, |
|||||||||||||||||||||||||||
√ |
ρ |
2 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
2 |
= (2a |
|
|
|
|
2 |
, |
|
||||||||||
|
|
− 4cρ cos φ + 4c |
|
|
− ρ) |
|
|||||||||||||||||||||||||
ρ2 − 4cρ cos φ + 4c2 = 4a2 − 4aρ + ρ2, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
aρ − cρ cos φ = a2 − c2, |
|
где |
a2 − c2 = b2, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
aρ |
|
|
|
|
|
c |
cos φ |
) |
= b2, |
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
= e, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
(1 |
− a |
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
a |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
ρ = |
|
|
|
|
a |
|
|
|
, где |
|
b2 |
= p, |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 − e cos φ |
|
|
a |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
47 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
ρ = |
1 − e cos φ. |
(1) |
Уравнение (1) есть каноническое уравнение эллипса в полярных координатах. Рис. Напомним, что у эллипса эксцентриситет 0 < e < 1, поэтому знаменатель в уравнении (1) всегда положительный и не обращается в нуль.
Б. Гипербола. По опред. 14.2 гипербола имеет уравнение
r1 − r2 = 2a,
где a > 0, а r1 = F1M и r2 = F2M суть расстояния от произвольной точки M гиперболы до фокусов F1 и F2 соответственно. Фокусное расстояние есть
F1F2 = 2c.
Выберем теперь декартовы координаты так, чтобы ось Ox проходила через фокусы F1 и F2, а ось Oy проходила через фокус F2. Рис. Тогда F1 = (−2c, 0), F2 = (0, 0) и
|
r1 = F1M = √ |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(x + 2c)2 + y2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
r2 = F2M = x2 + y2. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Запишем эти расстояния в |
полярных координатах (φ, ρ), т.е. сделаем за- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
мену |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = ρ cos φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Получим |
|
|
|
|
{ y = ρ sin φ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
r1 = |
(ρ cos φ + 2c)2 + ρ2 sin2 φ. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
r1 = |
|
x2 + y2 = ρ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2a, получим |
|||||||||||
Подставим эти расстояния в |
уравнение гиперболы r |
|
|
+ r |
|
||||||||||||||||||||
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|||||||||
|
ρ |
|
φ |
|
|
2c)2 + ρ2 sin2 φ |
|
|
ρ = 2a, |
|
|
|
|||||||||||||
√( cos |
|
|
+ |
2 |
2 |
|
2 |
|
|
− |
2 |
, |
|
|
|
||||||||||
(ρ cos φ + 2c) |
+ ρ |
sin |
φ = (2a + ρ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
ρ2 cos2 φ + 4cρ cos φ + 4c2 + ρ2 sin2 φ = 4a2 + 4aρ + ρ2, |
|||||||||||||||||||||||||
ρ2 + 4cρ cos φ + 4c2 = 4a2 + 4aρ + ρ2, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
cρ cos φ + c2 = a2 + aρ, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
c2 − a2 = aρ − cρ cos φ, |
|
где |
c2 − a2 = b2, |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
||||
aρ (1 |
− |
|
cos φ) = b2, где |
|
= e, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
a |
a |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
b2 |
|
ρ = |
|
a |
, |
где |
= p, |
|
|
|
|||||
1 − e cos φ |
a |
|||||
|
|
b2 |
|
|
b2 |
|
ρ = |
|
a |
, |
где |
= p, |
|
|
|
|||||
1 − e cos φ |
a |
|||||
ρ = |
p |
|
. |
|
(2) |
|
1 − e cos φ |
|
Уравнение (2) есть каноническое уравнение гиперболы в полярных координатах. Рис. Напомним, что у гиперболы эксцентриситет e > 1, поэтому знаменатель в уравнении (1) может обращаться в нуль.
1 − e cos φ = 0,
cos φ = 1e,
Поэтому при φ → ± arccos 1e , расстояние ρ → ±∞ вдоль асимптот φ =
±arccos 1e и φ = ± arccos 1e − π.
В.Парабола. По опред. 15.1 парабола имеет уравнение
r = d,
где r = F M и d = d(M, D) суть расстояния от произвольной точки M параболы до фокуса F и точки M до директрисы D соответственно. Рис. Расстояние от фокуса до директрисы равно фокальному параметру: d(F, D) = p.
Выберем теперь декартовы координаты так, чтобы ось Ox проходила через фокус F перпендикулярно директрисе D, а ось Oy проходила через фокус F . Рис. Тогда F = (0, 0), уравнение директрисы x = −p и
√
r = F M = x2 + y2, d = d(M, D) = x + p.
Запишем эти расстояния в полярных координатах (φ, ρ), т.е. сделаем замену
x = ρ cos φ |
|||||
{ y = ρ sin φ . |
|||||
Получим |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
ρ, |
|
rr= √ρ |
|
+ |
φ |
=p. |
|
2 = |
|
cos |
+ |
||
|
|
49 |
|
|
Подставим эти расстояния в уравнение параболы r = d, получим
|
ρ = ρ cos φ + p, |
|
|
p |
|
ρ = |
1 − cos φ. |
(3) |
Уравнение (3) есть каноническое уравнение параболы в полярных координатах. Рис.
Г. Вывод. В полярных координатах уравнение
ρ = |
p |
(4) |
1 − e cos φ |
при 0 < e < 1 определяет эллипс, при e = 1 — параболу,
при e > 1 — гиперболу.
Вдополнение заметим, что при e = 0 уравнение (4) превращается в ρ = p
иопределяет окружность радиуса p с центром в полюсе. Рис.
Другими словами при 0 ≤ e < ∞ уравнение (4) определяет семейство кривых, которое содержит окружность (при e = 0), эллипсы (при 0 < e < 1), параболу (при e = 1) и гиперболы (при e > 1).
§18. Линейные преобразования плоскости
Определение 18.0. Если f : X → Y произвольное отображение, то 1) для любого множества A X множество
f(A) = {f(x) Y | x A}
называется образом множества A при отображении f, (Рис.) 2) для любого множества B Y множество
f−1(B) = {x X | f(x) B}
называется (полным) прообразом множества B при отображении f. Рис. Определение 18.1. Пусть P и Q — две плоскости с декартовыми коор-
динатами (x, y) и (x′, y′) соответственно. Отображение f : P → Q, заданное
формулами |
x′ = a1x + b1y + c1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ y′ = a2x + b2y + c2 |
|
, |
|
(1) |
|
называется линейным, а определитель ∆ = |
|
a1 |
b1 |
|
называется его главным |
|
|
a2 |
b2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
определителем. |
|
|
|
|
|
|
50