![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава IV. Интегрирование
- •§1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •1. Основные понятия
- •2. Основные свойства неопределенного интеграла
- •3. Таблица основных интегралов
- •§2. Методы интегрирования
- •2. Метод подстановки (замены переменной)
- •3. Метод интегрирования по частям
- •§3. Определенный интеграл
- •Определение определенного интеграла
- •2. Основные свойства определенного интеграла
- •3. Формула Ньютона-Лейбница
- •§ 4. Методы вычисления определенного интеграла
- •1. Метод подстановки (замены переменной)
- •2. Интегрирование по частям
- •§5. Приближенные вычисления определенных интегралов
- •1. Формулы прямоугольников
- •2. Формула трапеций
- •§6. Геометрические приложения определенного интеграла
- •1. Вычисление площадей плоских фигур
- •2. Вычисление объемов тел вращения
- •3. Вычисление длины дуги плоской кривой
- •§ 7. Несобственные интегралы
- •1. Несобственные интегралы первого рода
- •2. Несобственные интегралы второго рода
2. Вычисление объемов тел вращения
Если криволинейная фигура, ограниченная линиями у = f(x), y = 0, x = a и x = b, вращается вокруг оси Оу, то объем тела вращения вычисляется по формуле
Vx
= .
(4.6)
Если криволинейная фигура, ограниченная линиями x = g(y), x = 0, y = c, у = d, вращается вокруг оси Оy, то объем тела вращения вычисляется по формуле
Vy
= .
(4.7)
Пример
2. Найти объем
тела, образованного вращением эллипса
вокруг а) осиOх;
б) оси Oу.
Решение. а) Так как эллипс симметричен относительно осей координат, то достаточно найти половину искомого объема и удвоить его. По формуле (3.6) имеем
Vx
= 2
=
2
;
б) По формуле (3.7) имеем
Vy
= 2
=
2
.
Если
a
= b
= R,
то эллипс является окружностью. Тогда
тело вращения вокруг оси Ox
(Oy)
есть шар, объем которого V
=
Найти объемы тел, образованных вращением фигуры,
ограниченной линиями:
140. y = 4 x2, y = 0, x = 0, x 0 вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу
141. y = ex, x = 0, x = 1, y = 0 вокруг: 1) оси Ox; 2) оси Oy
142. y = x2 + 1, y = 0, x = 1, x = 2 вокруг: 1) оси Ox; 2) оси Oy
143. y = 2px, x = h вокруг оси Ох
144.
y
= x2,
y
=
вокруг оси Ox
145. y2 = x, x2 = y вокруг оси Ох
146. y = x3, y = 1, x = 0 вокруг: 1) оси Ox; 2) оси Oy
147. y = x, y = x2 вокруг: 1) оси Ox; 2) оси Oy
148. y = ln x, y = 0, x = 1, x = e вокруг: 1) оси Ox; 2) оси Oy
149. y = sin x, y = 0, 0 x вокруг оси Ox
150.
y
= cos
x,
y
= 0, 0
x
вокруг оси Ox
151.
y
=
,
x
= 1, x
= 4, y
= 0 вокруг: 1) оси Ox;
2) оси Oy
3. Вычисление длины дуги плоской кривой
Длина дуги гладкой кривой y = f(x) на отрезке [a; b] вычисляется по формуле
.
Пример
3.
Найти длину дуги кривой y2
= x3
от
x
= 0 до x
= 1 (y
Решение.
Дифференцируя уравнение кривой, найдем
.
Тогда
L=.
Вычислить длины дуг кривых
152. y = x3/2 от x = 0 до x = 4
153.
y2
=
от
x
= 1
до x
= 2
154.
y
=
от
x
= 1 до х = е
155. 9y2 = 4x3 от x = 0 до x = 3
156.
y
=
от x
= 0 до x
= a
157.
y
= ln
cos
x
от x
= 0 до x
=
158.
y
=
от x
= 0 до x
=
159. Найти длину окружности x2 + y2 = R2.
§ 7. Несобственные интегралы
1. Несобственные интегралы первого рода
(Интегралы с бесконечными пределами интегрирования)
По определению
где с любое число.
Если приведенные пределы существуют и конечны, то соответствующие интегралы называют сходящимися. В противном случае расходящимися.
Пример 1. Вычислить несобственный интеграл
где
некоторое число.
Решение
1.
Если
,
то для любогоb
> 0
2.
Если
,
то
Таким образом, данный интеграл сходится при > 1 и расходится при 1.
Пример
2. Вычислить
несобственный интеграл
Решение. Полагая с = 0, по определению имеем
.
Таким образом, данный интеграл расходится.
2. Несобственные интегралы второго рода
(Интегралы от неограниченных функций)
Если функция y = f(x), непрерывная на промежутке [a; b), при xb неограниченно возрастает по модулю, то
Если функция y = f(x), непрерывная на промежутке (a; b], при xa неограниченно возрастает по модулю, то
Если функция y = f(x) определена на отрезке [a; b] кроме точки с[a; b] точки разрыва второго рода данной функции, то
.
Пример
3. Вычислить
несобственный интеграл
.
Решение.
Подынтегральная функция f(x)
=
не ограничена в окрестности точки x
= 0, поэтому имеем
.
Следовательно, интеграл сходится.
Вычислить несобственные интегралы
160.
161.
162.
163.
164.
165.
166.
167.
168.
169.
170.
171.
172.
173.
174.
175.
176.
177.
178.
179.
180.
181.
182.
183.