Глава V. Дифференциальные уравнения

§1. Основные понятия и определения

Определение 1. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию у = у(х) и ее производные у', у'',…, у⁽ⁿ⁾, т. е. уравнение вида

F(х; у; у'; у'';…; у⁽ⁿ⁾) = 0.

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция у = у(х) есть функция одной независимой переменной х.

Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в него.

Определение 3. Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале (а; b) называется функция у = (х), определенная на интервале (а; b) вместе со своими производными до n-го порядка включительно, которая будучи подставлена в дифференциальное уравнение обращает его в тождество, т.е.

F(x; (х); '(х);…; ⁽ⁿ⁾(х))  0.

§ 2. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Определение 1. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида:

F(x; у; у') = 0. (5.1)

Если уравнение (5.1) удается разрешить относительно у', то получится

у' = f(x; у) (5.2)

уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.

Иногда дифференциальные уравнения первого порядка записывают в дифференциалах

(х; у) dх + g(x; у) dу = 0.

Определение 2. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция у = (х; C), зависящая от одной произвольной постоянной C и удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению при любых допустимых значениях C.

Соотношение вида Ф(х; у; С) = 0, неявно определяющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение 3. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при каком-либо определенном значении постоянной С = С₀, т.е. у = (х; С₀).

Соотношение, получаемое из общего интеграла при конкретном значении постоянной С, называется частным интегралом дифференциального уравнения.

С геометрической точки зрения совокупность всех решений дифференциального уравнения представляет собой совокупность кривых, называемых интегральными кривыми, а каждое частное решение представляет отдельную интегральную кривую.

Определение 4. Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши.

Задачей Коши в случае дифференциального уравнения первого порядка называют задачу нахождения решения у = у(х) уравнения у '= f(x; y), удовлетворяющего начальному условию у(х₀) = у₀ (), где х₀, у₀  заданные числа.

1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение 5. Уравнение вида

(у) dу = g(x) dx

называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.

Решение этого уравнения находится путем интегрирования обеих его частей. В результате чего его общий интеграл представляется в виде

F(y) = G(x) + C.

Определение 6. Уравнение вида у' = (у) g(x) называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными находится с помощью следующего алгоритма:

1. Заменить производную у' отношением дифференциалов

2. Умножить обе части уравнения на dх

dу = (у) g(x) dх.

3. Разделить переменные, т. е. распределить их так, чтобы функция, зависящая от у, располагалась при дифференциале dу, а функция, зависящая от х, при дифференциале dх.

Для этого последнее уравнение необходимо разделить на (у). Получим dу = g(x) dх – уравнение с разделенными переменными.