А.Г. Коровин сборник задач по дифференциальному итегральному исчислению

Нижний Новгород

2014

Коровин А.Г. Сборник задач по дифференциальному и интегральному исчислению.  Н.Новгород: ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2014.  136 с.

Обсужден и рекомендован к изданию на заседании кафедры

Настоящее пособие написано в соответствии с новой программой по математике для вузов и предназначено для студентов экономических специальностей. В нем представлены необходимые теоретические сведения по основным разделам математического анализа и обыкновенных дифференциальных уравнений. Детально рассмотрены методы решения типовых примеров и задач, приведены задачи и упражнения для самостоятельной работы.

 ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2014

 Коровин А.Г., 2014

Глава I. Введение в анализ

§1. Числовая функция

1. Понятие функции

Определение 1. Зависимость между элементами х из множества Х и

элементами y из множества Y, когда каждому допустимому х по определенному закону ставится в соответствие единственный элемент у называют функцией и записывают y = f(x). Здесь х− независимая переменная (аргумент) а, у− зависимая переменная (функция). При этом пишут y = f(x).

Множество Х называют областью определения функции D(f) ,

а множество Y− ее областью изменения E(f).

2. Способы задания функции

- аналитический , когда у = f(x) ( явный) или F(x; у) = 0 (неявный);

- табличный;

- графический;

- алгоритмический.

3. Основные свойства функций

1. Четность и нечетность.

Определение 1. Функция y = f(x) называется четной (нечетной), если ее область определения симметрична относительно нуля и выполняется условие

f(−x) = f(x) (f(−x) = − f(x)).

График четной функции симметричен относительно оси ординат; график нечетной функции симметричен относительно начала системы координат.

2. Монотонность.

Определение 2. Функция f(x) называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке, если с увеличением аргумента х значение функции увеличивается (уменьшается).

3. Ограниченность.

Определение 3. Функция f(x) называется ограниченной на некотором промежутке, если существует число М >0 такое, что |f(x)| ≤ М для любого х из данного промежутка.

4. Периодичность

Определение 4. Функция f(x) называется периодической с периодом

Т ǂ 0, если для любых х из области определения функции

f(x+k∙Т) = f(x),

где k любое целое число.

5. Обратная функция

Определение 5. Пусть дана функция y = f(x), тогда функция x = g(y) называется обратной к функции y = f(x), при этом D(f) = E(g), E(f) = D(g).

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой

y = x.

6. Сложная функция

Определение 6. Функция, заданная в виде

y = f(u(x)),

называется сложной функцией, составленной из функций u и f, или суперпозицией этих функций. Здесь u(x) – промежуточный аргумент.

Глава II. ПРЕДЕЛЫ

§1. Предел функции

1. Понятие предела функции

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ за исключением быть может самой точки x₀.

Определение 1. Число А называется пределом функции f(x) в точке x=x₀, если для любого >0 существует число >0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию ,xx₀, имеет место неравенство <. При этом пишут

.

Согласно данному определению справедливы следующие утверждения:

1. Предел постоянной величины С в точке x=x₀ равен значению этой постоянной, т.е.

.

2. Функция f(x)=х в точке x=x₀ имеет предел, равный x₀, т.е.

.