2. Свойства пределов

Теорема 1. Если существуют пределы функций f(x) и g(x) при xx₀, то существуют пределы суммы (разности), произведения и, при условии , частного этих функций, т.е.

1) ;

2) ;

3)=,.

Замечание. Теорема верна также и в случае, когда x_{0 =} , +, .

Следствия

1⁰. Постоянный множитель может быть вынесен за знак предела

= С , С = const.

2⁰. Если nN, то

= ,=.

3⁰. Предел степени равен степени предела

= ,nN.

4⁰. Предел многочлена P(x) при xx₀ равен значению этого многочлена при x=x₀

= P(x₀).

5⁰. Предел дробно-рациональной функции при xx₀ равен значению этой функции при x=x₀, если Q(x₀)0

=.

Пример 1. Вычислить .

Решение. На основании п.п. 1, 2 Теоремы 1 имеем:

= =

= 2  1  1 + 1  3 = 0.

При решении данного примера можно непосредственно воспользоваться следствием Теоремы 1 о пределе многочлена.

= 2  1² + 1  3 = 0.

Пример 2. Вычислить .

Решение. Так как = 4 3 = 1  0, то применимо следствие 5⁰ Теоремы 1 о пределе дробно-рациональной функции

= 8.

3. Односторонние пределы

Определение 2. Число А называется левым пределом функции f(x) в точке х=х₀, если для любого >0 существует число >0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условиям <, x < x₀, имеет место неравенство < . При этом пишут

(x x₀  0 означает стремление х к х₀ слева).

Определение 3. Число В называется правым пределом функции f(x) в точке x = x₀, если для любого >0 существует число >0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условиям <, x > x₀, имеет место неравенство <. При этом пишут

(xx₀ + 0 означает стремление x к x₀ справа).

Замечание. Для существования предела функции f(x) в точке x=x₀ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

, т.е. А = B.

§2. Непрерывность функции

Определение 4. Функция f(x) называется непрерывной в точке x=x₀, если она определена в некоторой окрестности точки x₀, существует предел функции при xx₀ и он равен значению функции в этой точке

.

Так как , то условие непрерывности функции в точкеx₀ может быть записано в виде .

Следствиями этой формулы являются выражения:

,

= .

Пример 3. Вычислить .

Решение. Так как функции ln(x1) и непрерывные в точкеx=2, то в соответствии с Теоремой 1 и определением непрерывной функции имеем

=+=

= ln(2  1) + = 0 + 1 = 1.

Теорема 2. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x=x₀. Тогда функции f(x)  g(x), f(x)  g(x) и, при условии g(x)  0, f(x) / g(x) также непрерывны в этой точке.

Пример 4. Вычислить .

Решение. При x =  знаменатель дроби отличен от нуля. Кроме того, функции 1, sin x и ln непрерывны в этой точке. Тогда в соответствии с Теоремой 2 функция также непрерывна в точкеx = , т.е. предел функции и ее значение в этой точке равны.

Переходя к пределу, получим:

= == 1.

Определение 5. Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.

Различают два вида точек разрыва.

Определение 6. Точка x₀ называется точкой разрыва первого рода функции f(x), если в ней функция имеет конечные односторонние пределы.

Определение 7. Точка x₀ называется точкой разрыва второго рода функции f(x), если хотя бы один из односторонних пределов в этой точке равен  или +.

Вычислить пределы

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9.10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.