2. Формула трапеций
При
вычислении интеграла
с помощью формулы трапеций подынтегральная
функцияf(x)
заменяется функцией, график которой
представляет собой ломаную, звенья
которой соединяют концы ординат yi-1
и yi
(i=1, 2,…, n) (рис. 2).
у
В
А
у1 yi уn
у0 у2 yi-1 yn-1
0 а=х0 х1 х2 хi-1 хi хn-1 хn=b х
Рис. 2
В этом случае площадь криволинейной трапеции аАBb (а следовательно, и значение искомого интеграла) считается приближенно равна сумме площадей прямоугольных трапеций с основаниями yi-1 и yi и высотой
h = (b a) / n
(4.3)
Абсолютная
погрешность приближения, полученного
по формуле трапеций, не больше, чем
,
гдеM2
наибольшее значение
на отрезке [a;
b].
Пример 2. Вычислить приближенно по формуле трапеций
при
n
= 10.
Решение.
Разобьем промежуток интегрирования
[0; 1] на 10 частей (n
= 10); следовательно, шаг разбиения h
=
.
Вычислим
значения подынтегральной функции yi
=
в точках xi
деления отрезка [0; 1] (см. пример 1).
По формуле трапеций (3.3) получим
+1,1662
+ 1,2207 + 1,2806 + 1,3454
= 0,1
11,4838 = 1,148.
Оценим абсолютную погрешность приближения.
Так
как
,
то на отрезке [0; 1]
.
Следовательно, абсолютная погрешность
результата, полученного по формуле
трапеций, не больше
1
.
Вычислить по формулам прямоугольников и трапеций интегралы:
115.
приn=10
116.
при n=10
117.
при n=10
118.
при n=10
119.
при n=12
120.
при n=5
121.
при n=10
122.
при n=3;
6; 9
123.
Зная, что
вычислить приближенно число
,
пользуясь:
1) формулой прямоугольников при n=5, n=7, n=10;
2) формулой трапеций при n=5, n=7, n=10.
§6. Геометрические приложения определенного интеграла
1. Вычисление площадей плоских фигур
В соответствии с геометрическим смыслом определенного интеграла площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), прямыми x = a, x = b и y = 0, вычисляется по формуле
S=
.
(4.4)
Площадь фигуры, ограниченной кривыми y = f(x) и y = g(x) (f(x) > g(x)) и прямыми x = a и x = b находится по формуле
S=
.
(4.5)
Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 1 x2, y = x2 + 2, x = 0, x = 1.
Решение. Данная фигура заключена между графиками функций y = f(x) = x2 + 2 и y = g(x) = 1 x2, прямыми x = 0 и x = 1 (рис. 3), поэтому ее площадь находим по формуле (3.5)
S=
=
.
у
3
2
1
0 1 2
Рис. 3
Найти площади фигур, ограниченных линиями:
124. y = 4 x2, y = 0
125. y = x2 + 2x + 2, y = 0, х = 2, x = 3
126. y = x2, y = 0, x = 2, x = 3
127. y2 = x, y 0, x = 1, y = 4
128. y = sin x, y = 0, x = 0, x =
129.
y =
,
y = 0, x =1,
x = 2
130. y = x2, y = 2x
131. y = x3, y = 0, x = 2, x = 2
132. y = x3 x, y = 0, x = 1, x = 1
133. y = 3x2, y = 0, x = 1, x = 2
134. y = 2x2 + 1, y = x2 + 10
135. y = x2, y = 2 x2
136. y = x2, x = y2
137. x2 + y2 = 9
138.
139.
