3. Формула Ньютона-Лейбница
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и функция F(x) является некоторой ее первообразной на этом отрезке, то определенный интеграл может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница
.
Пример 1. Вычислить интегралы
1.
;
2.
.
Решение. Используя формулу Ньютона-Лейбница получим
1.
;
2.
.
Вычислить интегралы
57.
(n1)
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
§ 4. Методы вычисления определенного интеграла
1. Метод подстановки (замены переменной)
При
вычислении определенного интеграла
методом замены переменной определенный
интеграл
преобразуется с помощью подстановкиu
= (x)
или x
= (u)
в определенный интеграл относительно
новой переменной u.
При этом старые пределы интегрирования
a
и b
заменяются соответственно новыми
пределами
и ,
которые находятся из исходной подстановки.
Из первой подстановки новые пределы интегрирования вычисляются непосредственно: = (a), = (b); из второй путем решения уравнений a = () и b = () относительно и .
Таким образом имеем
.
Пример
1. Вычислить
определенный интеграл
.
Решение.
Положим 2x3
+ 1 = u,
тогда du
=
,
x2
dx
=
.
Вычислим новые пределы интегрирования
=
2b3
+ 1 = 2
13
+ 1 = 3.
Таким образом
+1)4
x2
dx
=
.
Пример
2. Вычислить
определенный интеграл
.
Решение.
Воспользуемся второй подстановкой,
пусть x
= 2 sin
t,
тогда dx
= 2
cos
t
dt.
Найдем новые пределы интегрирования
и
из уравнений a
= 2
sin
и b
= 2
sin
.
Если а = 0, то
= k,
и если b
= 2, то
=
k,
где k = 0, 1, 2,... Рассмотрим случай k = 0.
Тогда
=
2
.
Представим 2сos2t в виде cos2t + (1 sin2t) и воспользуемся формулой cos2t sin2t = cos2t, тогда
2
=
=
.
Вычислить интегралы
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
97.
98.
99.
100.
101.
102.
103.
104.
105.
106.
2. Интегрирование по частям
Если
функции u(x)
и v(x)
и их производные
и
непрерывны на отрезке [a;
b],
то формула интегрирования по частям
для определенного интеграла имеет вид
Пример
3. Вычислим
определенный интеграл
.
Решение.
Положим u
= ln
x,
dv
= x
dx;
тогда du
=
,
v
=
.
Следовательно,
=
.
Вычислить определенные интегралы
107.
108.
109.
110.
111.
112.
113.
114.
§5. Приближенные вычисления определенных интегралов
Пусть
на отрезке [a;
b],
a
< b
задана непрерывная функция у =
f(x);
требуется вычислить
.
Разобьем отрезок [a;
b]
на n
равных частей точками xi,
i
= 0, 1, 2,…, n
a = x0 < x1 < x2 < … < xn-1 < xn = b.
Длина
каждого из полученных отрезков [xi-1;
xi]
h
=
.
Обозначим через yi значения функции f(x) в точках xi:
y0 = f(x0), y1 = f(x1), … yn-1 = f(xn-1), yn = f(xn).
В
зависимости от того, как апроксимируют
данную функцию f(x)
на каждом из отрезков [xi-1;
xi],
получают различные формулы для
приближенного вычисления интеграла
.
1. Формулы прямоугольников
При
вычислении интеграла
по формулам прямоугольников подынтегральная
функцияf(x)
заменяется ступенчатой функцией. При
этом, учитывая геометрический смысл
определенного интеграла, его вычисление
сводится к вычислению площади ступенчатой
фигуры aABb
(рис. 1), ограниченной ступенчатой линией
и прямыми x
= a,
x
= b,
y
=0.
у
А
В
у0 у1 yi-1 yi yn-1 уn
0 а=х0 х1 хi-1 хi хn-1 хn=b х
Рис. 1
Площадь
ступенчатой фигуры aABb
равна сумме площадей прямоугольников
с высотами yi
и основаниями h
=
.
Следовательно
(4.1)
или
(4.2)
При
этом истинное значение интеграла
находится в интервалеS1<
<
S2.
Причем, абсолютная погрешность
приближения, полученного по формуле
прямоугольников, не превышает величины
,
где М1
–
наибольшее значение
на отрезке [a;
b].
Пример
1. Вычислить
приближенно по формуле прямоугольников
приn
= 10.
Решение. Разобьем отрезок интегрирования [0; 1] на 10 частей
(n
= 10) с шагом разбиения h
=
и воспользуемся формулой (4.1).
Вычислим
значения подынтегральной функции yi
=
(i=
в точках деления отрезка [0; 1].
x0=0 y0=1 x6=0,6 y6=1,1662
x1=0,1 y1=1,0050 x7=0,7 y7=1,2207
x2=0,2 y2=1,0198 x8=0,8 y8=1,2806
x3=0,3 y3=1,0440 x9=0,9 y9=1,3454
x4=0,4 y4=1,0770 x10=1 y10=1,4142
x5=0,5 y5=1,1180
Подставляя найденные значения yi в формулу (4.1) получим
+ 1,2207 + 1,2806 + 1,3454} = 1,1277.
Оценим
абсолютную погрешность приближения.
Так как
,
то на отрезке [0; 1]
.
Следовательно, абсолютная погрешность
результата, полученного по формуле
прямоугольников (4.1) не больше
0,71
.
Точное значение интервала равно:
.