Глава IV. Интегрирование

§1. Первообразная и неопределенный интеграл

1. Основные понятия

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, если в любой точке этого промежутка выполняется равенство илиdF(x) = f(x) dx.

Если F(x)  первообразная для f(x), то функция F(x) + C, где C – некоторая постоянная, также является первообразной для функции f(x), так как для любого С.

Определение 2. Если F(x)  первообразная для функции f(x), то множество функций F(x) + C, где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается .

Согласно данному определению имеем

.

При этом f(x) называется подынтегральной функцией, f(x) dx – подынтегральным выражением, x  переменной интегрирования.

2. Основные свойства неопределенного интеграла

1. .

2. d.

3. .

4. , a = const.

5. .

3. Таблица основных интегралов

1. 2.(  1)

3. (x  0) 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. = arctgx + C 12.

13. 14.

§2. Методы интегрирования

1. Непосредственным интегрированием называется вычисление интегралов с помощью таблицы основных интегралов и основных свойств неопределенных интегралов.

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение. Применим свойства 4 и 5 и воспользуемся таблицей интегралов, тогда

.

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение. Интеграл не табличный, поэтому преобразуем его. Так как 1 = sin²x + cos²x, то интеграл можно записать в виде

=.

Применяя свойство 5, получим

Получили два табличных интеграла 8 и 9.

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение. Интеграл не табличный. Умножим и разделим подынтегральное выражение на 3 и учтем, что 3dx = d(3x), тогда

.

Мы привели исходный интеграл к табличному интегралу 7 с переменной интегрирования 3x

.

Пример 4. Вычислить интеграл

Решение. Данный интеграл может быть приведен к табличному, если учесть, что cos x dx = Считая sin x переменной интегрирования, по формуле 2 таблицы интегралов получим

Пример 5. Вычислить интеграл

Решение. Учитывая, что dx = d(1 + x), получим

.

Пример 6. Вычислить интеграл

Решение. Так как xdx = , то

.

Пример 7. Вычислить интеграл

Решение. Так как 1 + 2x² = (1 + x²) + x², то

=.

По формулам 2 и 11 таблицы интегралов получаем

2. Метод подстановки (замены переменной)

Замена переменной интегрирования в неопределенном интеграле производится с помощью подстановки двух видов:

1) x = (t), где (t)  дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае имеет вид

;

2) u = (x), где u – новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке:

.

Пример 8. Вычислить интеграл

Решение. Сделаем подстановку t = , т. е. x = t³. Эта подстановка приведет к тому, что под знаком синуса окажется переменная интегрирования, а не корень из нее. Найдем дифференциал dx = = 3t² dt. Тогда получим

.

Вернемся к переменной интегрирования x. Подставляя в результат интегрирования t = , получим

.

Пример 9. Вычислить интеграл

Решение. Положим x³ + 5 = t, тогда 3x²dx = dt, x²dx = и интеграл преобразуется к виду

.

Если интеграл является табличным, то интегралможет быть легко найден с помощью подстановкиax + b = t.

Пример 10. Вычислить интеграл

Решение. Пусть ax + b = t, тогда аdx = dt, dx = и интеграл примет вид .

Пример 11. Вычислить интеграл .

Решение. Сделаем подстановку cos²x = t, тогда 2 cos x sin x dx = dt, т. е. sin 2x dx = dt. Тогда

= arcsin.

Пример 12. Вычислить интеграл .

Решение. Преобразуя знаменатель дроби, получим

x⁴ + 2x² + 5 = (x² + 1)² + 4. Сделаем подстановку x² + 1 = t, тогда xdx = . Отсюда

.

Вычислить интегралы

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35. 36.

37. 38.

39. 40.