3.2 Теория метода и описание установки

Момент инерции тел сложной формы определяется опытным путем. В данной работе для определения момента инерции тел используется метод крутильных колебаний маятника на трифилярном подвесе, период которого зависит от момента инерции колеблющегося тела.

Маятник на трифилярном подвесе состоит из платформы массой m_nи радиусомR(рисунок 3.9), подвешенной на трех металлических нитях, прикрепленных к диску радиусомr<Rи расположенных симметрично относительно оси системы ОО^/(ось ОО^/перпендикулярна диску и платформе).

При повороте диска на небольшой угол φ₀вокруг оси центр массы системы несколько приподнимается вдоль оси вращения и нижняя платформа начинает совершать крутильные колебания, период которых зависит от момента инерции системы. Резкий поворот верхнего диска на малый уголφ₀<5⁰почти полностью исключает некрутильные колебания платформы (при колебании платформы верхний диск должен быть неподвижным).

Рисунок 3.9

За четверть периода колебаний платформа поднимется на высоту , и ее потенциальная энергия изменится на величину (рисунок 3.10)

(3.18)

В следующие четверть периода потенциальная энергия платформы переходит в кинетическую энергию, которая при начальной угловой скорости , равной нулю, запишется так:

, (3.19)

где ω– угловая скорость гармонического колебательного движения.

Затем кинетическая энергия переходит в потенциальную и т.д. По закону сохранения и превращения энергии (без учета сил трения) имеем:

, (3.20)

где ω_max– максимальная угловая скорость в момент прохождения положения равновесия.

Из этого выражения можно найти момент инерции системы

(3.21)

Платформа совершает гармонические крутильные колебания, поэтому угловое смещение φ платформы имеет следующую зависимость от времени:

, (3.22)

где φ₀ – угловая амплитуда крутильных колебаний;

T – период полного колебания.

Угловую скорость платформы можно найти, взяв производную по времени от φ :

(3.23)

Она максимальна при и равна

(3.24)

Вычислим величину при повороте платформы на угол.

а – положение равновесия маятника;

б – положение максимального смещения маятника.

Рисунок 3.10

Из рисунка 3.10 видно, что

, или

, (3.25)

так как , то

(l– длина нити).

h₁ и h₂находим из треугольниковABDиABC:

изΔ ABD

изΔ ABС.

(BC) определяем из треугольникаBCOкак сторону, лежащую против угла:

.

Тогда .

Подставляем значения ив формулу (3.25), получаем:

.

Так как угол мал, томожно заменить аргументом– в радианах:

. (3.26)

Подставляя в формулу (3.20), окончательно получаем выражение для расчета момента инерции ненагруженной платформы:

=m_nК Т², (3.27)

где m_n– масса платформы;

К = ,

R– радиус платформы;

r– радиус диска;

l– длина нити.

(R, r, l, m_n– величины постоянные, их значения указаны на установке).

Момент инерции платформы, нагруженной исследуемым телом, вычисляется аналогично:

=T₁² ×К, (3.28)

где - масса платформы с телом;

m_T - масса исследуемого тела.

Как видно из выражений (3.27) и (3.28), для определения момента инерции платформы I_nбез тела и момента инерции платформы с исследуемым теломI, необходимо измерить период колебаний крутильного маятника.

Момент инерции исследуемого тела равен разности моментов инерции платформы с исследуемым телом Iи без телаI_n:

. (3.29)

В данной лабораторной работе предлагается определить при помощи маятника на трифилярном подвесе момент инерции некоторых тел относительно оси вращения, проходящей через их центр масс, и относительно произвольной оси и проверить теорему Штейнера.