Подставим (II.10) в (II.8) и, пренебрегая малой величиной hm2 , получим формулу радиуса m-ой зоны Френеля для сферической волновой поверхности:

Если принять a = b = 1 м, λ = 500 нм, то для первой зоны получим r1 = 0,5 мм.

II.2. Дифракция света от узкой щели

Пусть свет падает на экран с отверстием или со щелью, либо на преграду в виде небольшого диска или нити. Из теории Френеля следует, что в том случае, когда в размерах отверстия, щели (или препятствия) укладывается четное число зон Френеля, будет наблюдаться дифракционный минимум, если нечетное – максимум, т.к. одна зона остается непогашенной.

Рассмотрим дифракцию Фраунгофера от узкой щели. Пусть параллельный пучок монохроматического света падает нормально на щель шириной a (рис. II.6). Каждая точка волнового фронта, достигшего щели, согласно принципу Гюйгенса, является источником вторичных волн, которые будут распростра-

26

няться за плоскостью щели по всем возможным направлениям. Таким образом, пучок параллельных лучей, проходя через щель, дифрагирует под всевозможными углами ϕ в пределах от 0 до π/2.

Вторичные волны за плоскостью щели можно сгруппировать в параллель-

световой эффект в этой точке,

кулярных к направлению лучей и отстоящих друг от друга на расстоянии λ/2. Если в разности хода AC крайних лучей пучка II уложится m полуволн, то-

гда в волновом фронте AB уложится m зон Френеля. Разность хода AC = asinϕ. Следовательно, число зон Френеля при данной ширине щели a и длине волны λ

27

Для всех углов дифракции, для которых в щели уложится четное число зон Френеля (m = 2k), будут наблюдаться дифракционные минимумы (темные полосы), т.к. зоны попарно погасят друг друга. Получаем условие минимумов:

Для всех углов дифракции, для которых в щели уложится нечетное число зон Френеля (m = 2k + 1), будут наблюдаться дифракционные максимумы, т.к. одна

Величина k = 1, 2, 3 … называется порядком дифракционного максимума (минимума).

Ширина дифракционного максимума (расстояние между двумя ограничивающими его дифракционными минимумами) зависит от ширины щели a, длины световой волны λ и от расстояния от щели до экрана l. Если щель очень узкая (a < λ), то вся поверхность AB будет представлять собой лишь часть одной

Iφ

Рис. II.7

зоны, и условие даже первого минимума не может быть выполнено ни при каком угле дифракции. Весь экран будет освещен – больше в середине, меньше по краям. Если щель широкая (a >> λ), то на экране возникнет изображение

28

щели, окаймленное по краям очень узкими практически неразличимыми глазом чередующимися темными и светлыми полосами. Если же размер щели соответствует условию (II.1), то будет наблюдаться дифракционная картина, распределение интенсивности света в которой имеет вид, показанный на рис. II.7.

II.3. Метод графического сложения амплитуд

Соотношение интенсивностей в дифракционной картине можно определить

методом графического сложения амплитуд. Применим этот метод для случая дифракции от щели. Разобьем фронт волны на элементарные зоны, ширина каждой из которых значительно меньше ширины зоны Френеля. Каждая такая

A = A0. Получаем максимальное значение результирующей амплитуды, соответствующее центральному дифракционному максимуму.

29

2.Пусть при некотором угле дифракции разность фаз колебаний, соответствующих краям щели, равна π. В этом случае все векторы A должны располагаться вдоль полуокружности длиной A0 (рис. II.8, б) так, чтобы векторы A от элементарных зон у краев щели имели противоположное направление. Результирующая амплитуда A является диаметром полуокружности. Длина по-

луокружности A0 = π2A , тогда результирующая амплитуда A = 2 πA0 .

3.Пусть разность фаз колебаний, соответствующих краям щели, равна 2π. Векторы A расположатся вдоль окружности длиной A0 (рис. II.8, в). Результирующая амплитуда равна нулю, что соответствует дифракционному минимуму первого порядка.

4.Пусть разность фаз колебаний от краев щели равна 3π. Векторы A обойдут полтора раза окружность диаметра A1 (рис. II.8, г), что соответствует дифракционному максимуму первого порядка. Величину амплитуды можно найти

из условия πA1 + π 2A1 = A0 (длина окружности плюс длина полуокружности).

Отсюда результирующая амплитуда

A1 = 23Aπ0 .

Аналогично определяются амплитуды колебаний последующих максимумов:

Поскольку интенсивность света I пропорциональна квадрату амплитуды, соотношение интенсивностей света в дифракционной картине можно представить как отношение квадратов соответствующих амплитуд:

I0 : I1 : I2 : I3 : … : In = A02 : A12 : A22 : A32 : … An2 .

Принимая интенсивность света центрального максимума за единицу, получим:

30