7. Правило сложения вероятностей.

Если событие А и В несовместны, то РА + В = РА + РВ

Доказательство:

Е, N_раз , N_А раз наблюдалось событие А, N_В раз наблюдалось событие В, N_А+В раз наблюдалось событие А+В.

Так как А и В несовместны, то N_А+В = N_А + N_В, N_А+В / N = N_А / N+ N_В / N.

Если устремить N  , то получается РА + В = РА + РВ

Обобщение: Если А₁, А₂, … , А_n – попарно несовместны, то

РА₁ + А₂ + … + А_n  = РА₁ + Р А₂+ … + Р А_n

8. Условная вероятность. Правило умножения вероятностей

Пусть A и В – два случайных события по отношению к некоторому опыту , причём р(В) не равно нулю. Число р(АВ)/р(В) называется вероятностью события А при условии, что наступило событие В, или просто условной вероятностью события А. Таким образом р_в(А) = р(АВ)/р(В). Пусть N – общее число экспериментов, N_B - число экспериментов, в которых имело место событие В. N_АВ – Число экспериментов, в которых имели место события А и В одновременно. Отношение N_АВ/N_B – частота события А при условии, что наступило событие В.

р(АВ)=р_В(А)р(В) – Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из этих событий при условии другого, умноженной на вероятность самого условия. Аналогичная формула справедлива для трёх событий. р(А₁А₂А₃)=р(А₁)р_А1(А₂)р_А1А2(А₃)

А не зависит от В, если выполняется равенство р_В(А)=р(А). Наступление В не оказывает влияния на наступление события А.

Правило умножения вероятностей - Если событие А не зависит от В, то справедливо равенство р(АВ)=р(А)р(В). (веростность произведения равна произведению вероятностей)

9. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Если события Н₁, Н₂,…,Н_n попарно несовместны и образуют полную группу, то для вероятности любого события А справедлива формула р(А)=р_Н1(А₁)р(Н₁)+р_Н2(А)р(Н₂)+…+р_Hn(А)р(Н_n). Вероятность события А равна сумме произведений условных вероятностей этого события по каждой из гипотез на вероятность самих гипотез.

Формула Байеса. (условие – событие А может наступить только с одной из гипотез). Эта формула определяет вероятность, что имела место именно эта гипотеза.

Вывод формулы.

p(AH_i)=p_Hi(A)p(H_i)

p(H_iA)=p_A(H_i)p(A) приравниваем правые части, получим

p_Hi(A)p(H_i)=p_A(H_i)p(A) воспользуемся формулой полной вероятности.

p_A(H_i)= р_Hi(A)p(H_i) .

р_Н1(А₁)р(Н₁)+р_Н2(А)р(Н₂)+…+р_Hn(А)р(Н_n)

10. Дискретная св и ее закон распределения.

Величина, принимающая в результате испытания (опыта) определенное значение, называется случайной величиной. СВ Х называется дискретной, если существует конечное и счетное множество S=х₁, х₂,… такое, что Р(ХS)=1. Числа х₁, х₂,…называются возможными значениями СВ Х.

Пусть р_i=Р(Х=х_i) – вероятность возможного i-го значения. При х_i ≠ х_j события Х=х_i и Х= х_j несовместны. Применяя правило сложения вероятностей для несовместных событий получим:

Таблица

Х	х1	х2	…
Р	р1	р2	…

называется законом распределения дискретной СВ Х. Для любой СВ функция распределения – F(x)=P(X<x) . В случае дискретной СВ функция распределения имеет вид

F(x) – ступенчатая функция со скачками в х1, х2,…, причем величины скачков равны р1, р2,…