2 Частные производные. Дифференциал, его связь с частными производными. Геометрический смысл частных производных и дифференциала.

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения частного приращения функции к приращения функции к приращению соответствующией независимой переменной, когда это приращение стремится к нулю.

Величина z=f(x₀+x,y₀+y)-f(x₀,y₀) (одновременное изменение величин х и у) называется полным приращением функции z в точке (x₀,y₀).Так же, как и в случае одной переменной возникает задача о приближённой замене приращения z( которая, как правило, является нелинейной функцией от х и у) на линейную функцию от х и у. Роль линейного приближения выполняет полный дифференциал функции, который определяется как сумма произведений частных производных функций на приращения независимых переменных. Так, в случае функции от двух переменных полный дифференциал определяется равенством dz=z_xx+z_yy. Следует помнить, что в различных точках (х₀, у₀) дифференциал будет различным.

Функция называется дифференцируемой в точке (х₀, у₀), если её полное приращение можно представить в виде z=f(x,y)- f(х₀, у₀)=f_x(х₀, у₀)x+f_y(х₀, у₀)y+p или, короче, z=dz+p, где =(х, у) – функция бесконечно малая при х 0,у0;

Геометрический смысл.

_.

р=(х)²+(у)² - расстояние от точки (х,у) до точки (х₀,у₀).

Дифференцируемость функции z=f(z,y) в точке (х₀,у₀) предполагает наличие производных z_x и z_y в этой точке. Поэтому, если хотя бы одна из указанных производных не существует , то функция не является дифференцируемой в точке (х₀,у₀).

Запишем линейный аналог уравнения, отбросив слагаемое р:

z-f(х₀,у₀)=f_x(х₀,у₀)(x-x₀)+f_y(х₀,у₀)(y-y₀). Это уравнение в коотдинатах x,y,z задаёт плоскость, которая называется касательной плоскостью к графику функции f(x,y) в точке (М(х₀,у₀), f(х₀,у₀)).

(можно доказать, что для любой последовательности точек {N_1,N₂,…}, принадлежащих графику функции z=f(x,y) ( и отличных от М), угол между прямой MN₁ и касательной плоскостью стремится к нулю.

(Теорема Если функция z=f(x) дифференцируема в точке (х₀,у₀), то она непрерывна в этой точке.)

3. Производная по направлению. Градиент.

Пусть l=(l_x;l_y) – произвольный единичный вектор, т.е. такой вектор, что

.

|l|=l_x²+l_y²=1

Производной функции f(x,y) в точке (х₀,у₀) по направлению вектора l называется предел df(х₀,у₀)=lim f(х₀+tl_x,у₀+tl_y)- f(х₀,у₀)

dl ^t0+0 t

Говорят также, что df(х₀,у₀)/dl – это скорость изменения функции в точке (х₀,у₀) в направлении вектора l.

Градиентом функции в точкеМ называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным данной функции в точке М.

Пример для функции от двух перменных. f(x,y) grad f(M)=(f_x(M);f_y(M)).

Градиент можно записать короче. df(M)(grad f(M),l)

dl

где (grad f(M),l) – скалярное произведение векторов.

[(grad f(M),l)=|grad f(M)|*|l|cos, l – единичный вектор] Ни количество аргументов функции f, ни длина вектора l не играет существенного значения при выводе формулы.

Вывод.Градиент указывает направление наискорейшего роста функции, а максимальная скорость роста равна модулю градиента.