II. Неопределенный интеграл

1.Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен

Для отыскания указанных интегралов от функций, содержащих квадратный трехчлен, для преобразования их к формулам интегрирования следует вначале выделить полный квадрат из квадратного трехчлена, в результате чего он преобразуется в квадратный двучлен:

.

В дальнейшем с помощью подстановки интеграл можно привести к табличному виду

а) Найти интеграл .

Выделим из квадратного трехчлена полный квадрат:

.

Заменим переменную x, полагая, что, тогда;.

Интеграл имеет вид: .

Далее разложим полученный интеграл на два слагаемых, соответственно двум слагаемым в числителе и находим их по формулам:

Формулы: ;.

Возвращаясь к переменной x, окончательно получим:

б) Найти интеграл .

Выделим из квадратного трехчлена полный квадрат:

Заменим переменную x, полагая, что

тогда.

Интеграл имеет вид:

Далее разложим полученный интеграл на два слагаемых, соответственно двум слагаемым в числителе и находим их по формулам:

.

Формулы: .

.

Возвращаясь к переменной x, окончательно получим:

Аналогично решаются задания в № 11(б) - 20(б)

[в № 11(б),12(б),13(б),14(б),15(б),16(б),17(б),18(б),19(б),20(б)].

2. Интегрирование рациональных дробей

Неправильную рациональную дробь, у которой степень числителя выше или равна степени знаменателя, можно делением числителя на знаменатель представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби, у которой степень числителя ниже степени знаменателя. Правильную рациональную дробь можно разложить на простейшие дроби: гдеицелые положительные числа;.

Для разложения правильной рациональной дроби на элементарные слагаемые дроби нужно:

а) разложить знаменатель на простые действительные множители.

б) написать схему разложения данной дроби на элементарные слагаемые данной дроби в следующем виде: где- некоторые постоянные. В эту схему для каждого множителя в разложении знаменателя, вписывается столько элементарных слагаемых дробей, какова его кратность.

Знаменателями элементарных дробей являются все целые степени каждого множителя в разложении, начиная с первой степени и заканчивая той степенью, которую множитель имеет в разложении.

Числителями элементарных дробей служат либо постоянные либо линейные функциисмотря по тому, является ли знаменатель дроби некоторой степенью линейной или квадратной функции.

в) освободиться от знаменателей, умножая обе части равенства

на .

г) составить систему уравнений, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях полученного тождества.

д) решить систему и подставить найденные значения в схему разложения.

Найти: .

Подынтегральная дробь неправильная: степень числителя выше степени знаменателя (5>4).

Выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель:

_

Подынтегральная дробь будет иметь вид:

.

Тогда

=где.

Разложим знаменатель подынтегральной функции на

множители:

=.

Напишем схему разложения данной дроби на элементарные слагаемые дроби:

Составим систему уравнений, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях полученного тождества:

,

,

,

,

,

,

; ;; .

Подставим найденные значения в схему разложения:

Подставляя в интеграл и интегрируя, получим:

Выделим из квадратного трехчлена полный квадрат:

Заменим переменную , полагая, тогда

,

.

Применяя формулы: ;

Возвращаясь к переменной , получим

Окончательно:

Аналогично находятся интегралы в №1(а)-20(а)