IV. Обыкновенные дифференциальные уравнения и их системы

Дифференциальное уравнение называется однородным, если функциязависит от отношения переменных(или). В этом случае надо ввести новую переменную(или), отсюда. Уравнениепримет вид, и переменные легко разделяются.

Интегрируя, находим решение уравнения. В задачах №№ 201-210 все дифференциальные уравнения однородные, т.к. легко получить отношение переменных тем или иным способом, а именно, если, то выносимв числителе и знаменателе за скобку, а затем сократим на, или выделимкак функцию оти.

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Выделим как функцию. Для этогоперенесем в правую часть уравнения с обратным знаком, а затем это уравнение разделим на, получим

.

Замена , отсюдаи.

Подставив ив уравнение, получим дифференциальное уравнение с разделяющими переменными

или, или.

Так как , то.

Разделив переменные и проинтегрировав,,,,, получим общее решение уравнения.

Учитывая, что , то.

Ответ: .

В задачах №№ 211-220 все дифференциальные уравнения - линейные первого порядка или уравнения Бернулли,и.

Решение этих уравнений можно искать в виде , гдеи, в результате чего уравнения записываются в виде:

- линейное уравнение,

- уравнение Бернулли.

Вынесем за скобку во втором и третьем выражении и получим

- линейное уравнение,

- уравнение Бернулли.

Тогда вместо искомого уравнения получаем два уравнения:

для линейного уравнениядля уравнения Бернулли.

Последовательно решая каждое уравнение системы, получим и, а соответственно и, т.е. общее решение уравнения.

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанному условию

,.

Решение: приведем уравнение к виду линейного или уравнения Бернулли, а для этого разделим все выражения на

.

Замечаем, что это уравнение Бернулли т.к. ; и .

Находим решение в виде , тогда.

Уравнение примет вид

Запишем систему уравнений, для нахождения и

, т.к., то.

Разделив переменные, получим

.

Интегрируя, получим отсюда.

Подставляя найденное во второе уравнение системы, получим

или.

Сократив на , разделим переменные учитывая, что:

.

Проинтегрировав, получим ,;;.

Таким образом, общее решение имеет вид

Учитывая начальные условия выделим из семейства кривыхту кривую, которая проходит через заданную точку., отсюдаиПодставимв общее решение, получим частное решение уравнения.

Ответ: .

В задачах №№ 221-240 заданы дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижения порядка.

Различают три вида таких уравнений, это:

1. - явно выражена производная.

Заменяя и интегрируя, получим дифференциальное уравнение-го порядка, отсюда.

2) . Это уравнение, явно не содержащее. Заменаприводит к уравнению-го порядка

3) Уравнение не содержит явно переменнуюЗаменаприводит к уравнению-го порядка

Даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижения порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

Пример 3.

Решение: Выделим явно , получим. Уравнение вида.

Так как , тоили интегрируя, получим

.

Так как то .

Интегрируя, получим .

Используем интегрирование по частям

;;

;.

.

Снова используем интегрирование по частям, вычисляя интеграл .

,,

,.

Итак, .

Учитывая начальные условия, найдемииз найденных величини.

.

Так как , то.

Подставляя в общее решение, имеем:

.

Ответ:

Пример 4. ,,.

Решение: Уравнение вида .

Замена ,.

- линейное уравнение первого порядка. Решение,

,

,

Решение первого уравнения системы:

,, отсюдаили интегрируя, получим

,.

Подставляя во второе уравнение системы, получим

,,.

Интегрируя, получим .

Так как , то.

Учитывая, что , тои. Интегрируя, получим

.

Учитывая начальные условия, найдем ииз найденных величини.

,.

Итак .

Ответ: .

Пример 5. ;;.

Решение: уравнение вида .

Замена ,. Подставив замену в уравнение, получим

.

Сократим на ; (, отсюдачастное решение) получим.

Учитывая, что , получим. Разделим переменные. Проинтегрировав выражение, получим;, или. Учитывая начальные условия,, получим..

Тогда . Так как, тоили.

Интегрируя, получим ,. Учитывая, что,, получим. Отсюда.

Итак, , отсюда найдем.

.

Ответ: .

В задачах №№ 241-260 все дифференциальные уравнения - линейные неоднородные с постоянными коэффициентами и специальной правой частью (ЛНДУ).

ЛНДУ – 2-го порядка имеет вид;.

Установлено, что, если правая часть уравнения имеет вид, наиболее широко встречающийся на практике, , то частное решение ЛНДУ находится в виде:

.

где - число совпадений характеристики правой частис корнями характеристического уравнения,.и- многочлены с неопределенными коэффициентами, которые находим методом неопределенных коэффициентов.

Тогда решения искомого уравнения есть .

Пример 6. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

,,.

Решение: структура общего решения уравнения

.

Составим характеристическое уравнение

, отсюдаи.

Для данной задачи ,

где ,.

Найдем частное решение для и.

Можно представить:

Для

Тогда

Подставим это решение в уравнение, а для этого найдем первую и вторую производную

1
-2
1		.

Сократим на 2 и приравняем коэффициенты при и

Итак

Дляимеем

Тогда .

Упрощая, получим

Находим производные

Подставим в уравнение

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, найдем и

Итак .

Общее решение уравнения .

Учитывая начальные условия ,

найдём иДля этого найдём

Итак

Или

Частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям, есть

Ответ:

В задачах 261-270 заданы системы дифференциальных уравнений, решения которых можно найти методом исключения.

Пример 7. Решить систему уравнений и выделить частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

.

Решение.

Из первого уравнения системы найдём .

отсюда найдём

Теперь иподставим во второе уравнение системы.

отсюда .

Получим дифференциальное уравнение второго порядка со специальной правой частью.

Структура общего решения его .

Составим характеристическое уравнение тогда его корни

.

Рассмотрим .

Итак, .

-2 -1 1

или

.

Приравниваем коэффициенты при

Итак , тогда

Теперь найдём Учитывая, чтополучим

,

.

Итак, общее решение системы есть

Учитывая начальные условия , найдем

Ответ:

В примерах 271-280 рассмотрены задачи, при решении которых надо составить дифференциальное уравнение, и, решив его, ответить на поставленный вопрос задачи.

Пример 8. Найти кривую, проходящую через точку (3;2), для которой отрезок любой её касательной, заключенный между координатными осями, делится пополам в точке касания. Построить кривую.

Решение. Пусть, есть середина касательнойпо условию являющаяся точкой касания (точки- это точки пересечения касательной с осямиВ силу условияУгловой коэффициент касательной к кривой в точкеравен

Это и есть дифференциальное уравнение искомой кривой. Преобразовав, получим:

и, следовательно, илиИспользуя начальное условие, определимИтак, искомая кривая есть гипербола.