Контрольная работа №5
В задачах 101-110 дана функция
.
Найти: 1) полный дифференциал
;
2) частные производные второго порядка
и
;
3) смешанные частные производные
и
.
101.
.102.
.103.
.
.105. 
.
106. Дана функция
.
Показать, что
.
107. Дана функция
.
Показать, что
.
108. Дана функция
.
Показать, что
.
Дана функция
.
Показать, что
.Дана функция
.
Показать, что
.
В задачах 111-115 дано уравнение
поверхности в неявном виде
.
Составить уравнение плоскости и уравнение
нормали к данной поверхности в точке
,
если абсцисса
и ордината
этой точки заданы.
111.
.
112.
.
113.
.
114.
.
115.
.
В задачах 116-120дана функция
и точки
,
исходя из ее точного значения данной
функции в точке
и заменяя приращение
,
соответствующим дифференциалом
,
т.е. применяя формулу
116.
.
117.
.
118.
.
119.
.
120.
.
В задачах 121-130 найти наименьшее и
наибольшее значения функции
в заданной замкнутой области.
121.
в квадрате
,
.
122.
в треугольнике, ограниченном осями
координат
и
и прямой
.
123.
в квадрате
,
.
124.
в квадрате
,
.
125.
в треугольнике, ограниченном осями
координат
и
и прямой
.
126.
в области, ограниченной параболой
,
прямой
и осью
(
).
127.
в прямоугольнике
,
.
128.
в области, ограниченной параболой
и осью
.
129.
в треугольнике, ограниченном прямыми
,
,
.
130.
в прямоугольнике
,
.
В задачах 131-140данную функцию
исследовать на экстремум.
131. .
132.
.
133.
.
134.
.
135.
.
136.
.
137.
.
138.
.
139.
.
140.
.
В задачах 141-160требуется: 1) построить
на плоскости
область
интегрирования заданного интеграла;
2) изменить порядок интегрирования и
вычислить площадь области при заданном
и измененном порядках интегрирования.
141.
142.
143.
144.
145.
146.
147.
148.
149.
150.
151.
152.
153.
154.
155.
156.
157.
158.
159.
160.
В задачах 161-180вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже.
161.
162.
163.
164.
165.
166.
167.
168.
169.
170.
171.
172.
173.
174.
175.
176.
177.
178.
179.
180.
В задачах 181-190даны криволинейный интеграл
и четыре точки плоскости
:
О(0;0), А(4;0), В(0;8) и С(4;8). Вычислить данный
интеграл от точки О до точки С по трем
различным путям: 1) по ломаной ОАС; 2) по
ломаной ОВС; 3) по дуге ОС параболы
.
Полученные результаты сравнить и
объяснить их совпадение.
181.
182.
183.
184.
185.
186.
187.
188.
189.
190.
В задачах 191-200найти функциюU(x,y) по ее полному дифференциалуdU.
191.
192.
193.
194.
195.
196.
197.
198.
199.
200.
В задачах 201-210найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка.
201.
202.
203.
204.
205.
206.
207.
208.
209.
210.
В задачах 211-220найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
211.
212.
213.
214.
215.
216.
217.
218.
219.
220.
В задачах 221-240даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
221.
222.
223.
224.
225.
226.
227.
228.
229.
230.
231.
232.
233.
234.
235.
236.
237.
238.
239.
240.
В задачах 241-260даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
241.
242.
243.
244.
245.
246.
247.
248.
249.
250.
251.
252.
253.
254.
255.
256.
257.
258.
259.
260.
В задачах 261-270требуется решить систему уравнений и выделить частные решения, удовлетворяющие указанным начальным условиям.
261.
262. 
263. 
264. 
265. 
266.
267. 
268. 
269. 
270. 
271. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(2;3) и обладающей тем свойством, что отрезок любой касательной к кривой, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам. Построить кривую.
272. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(2;4), если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой в три раза больше углового коэффициента прямой, соединяющей ту же точку с началом координат. Построить кривую.
273. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(1;1) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, равен квадрату абсциссы точки касания. Построить кривую.
274. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(1;2) и обладающей тем свойством, что отрезок касательной между точкой касания и осью Ох делится пополам в точке пересечения с осью Оу. Построить кривую.
275. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(-1;1), если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен квадрату ординаты точки касания. Построить кривую.
276. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(1;2), если поднормаль в каждой точке равна 2. Построить кривую.
277. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(2;4), если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой в два раза меньше углового коэффициента прямой, соединяющей ту же точку с началом координат. Построить кривую.
278. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(2;-4), если начальная ордината касательной, проведенной в любой точке кривой, равна кубу абсциссы точки касания. Построить кривую.
279. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(0;3), если угловой коэффициент касательной, проведенной в любой ее точке, меньше ординаты точки касания на 2. Построить кривую.
280. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(2;2), если длина отрезка касательной между точкой касания и осью Ох равна длине отрезка между точкой касания и началом координат. Построить кривую.
В задачах 281-290 исследовать сходимость рядов, пользуясь признаком сходимости Даламбера.