Решение

По определению, два графа изоморфны, если существует такое биективное соответствие между их вершинами, что две вершины одного графа тогда и только тогда соединены ребром, когда соответствующие вершины другого графа также соединены ребром. В частности, при изоморфизме соответствующие вершины изоморфных граф имеют равную степень, циклу одного графа соответствует цикл такой же длинны другого графа, перешеек или тупик одного графа соответствует перешейку или тупику изоморфного графа.

Графы (а) и (б) на рис.1 изоморфны, причем соответствие между вершинами задает тождественная подстановка: , так как оба графа можно задать одним и тем же множеством вершин и тем же множеством ребер .

Изоморфизм между графами (а) и (в) задает следующая подстановка между их вершинами: .

Действительно, множество ребер графа (в) можно получить из , если заменить вершины согласно подстановке: . Последний пример показывает, что задача установления изоморфизма между некоторыми графами может быть очень сложной.

№ 5. Доказать, что графы, изображенные на рис.2, не изоморфны между собой.

Доказательство

Действительно, граф (а) имеет цикл длины 8: , а цикл наибольшей длины графа (б) это или имеет длину 6.

Другое решение: граф (а) имеет ребро , которое содержится в других циклах и .

№ 6. Доказать, что графы, изображенные на рис.3 изоморфны.

Доказательство

Изоморфизм графов (а) и (б) можно задать, например, подстановкой .

То, что эта подстановка определяет изоморфизм нужно проверить выписывая все ребра одного графа и соответствующие ребра другого графа. Например, ребра графа (б), инцидентные вершине это: ; соответствующие ребра графа (а), инцидентные вершине это: .

№7. Построить матрицы смежности графов, изображенных на рис.1 и рис.2.

Решение

Для графов (а) и (б) рис.1 строим матрицу 6 ^го порядка, для которой тогда и только тогда, когда вершины и соединены ребром. Иначе, . Таким образом, матрица смежности имеет вид:

.

Действительно, ребра, инцидентные вершине будут: , поэтому в первой строке матрицы элементы , остальные элементы первой строки равны нулю. Аналогично заполняются остальные строки.

Аналогично строится матрица смежности для графа (в) рис.1.

подобным образом строим матрицы смежности графов (а) и (б), изображенных на рис.2.

(а) (б)

Замечание. Матрица смежности графа однозначно определяется заданием множества вершин (число элементов множества равно порядку матрицы) и заданием множества дуг .

Если в графе имеется дуг, идущих из в , то элемент матрицы , если таких дуг нет, то . Если граф не содержит кратных дуг, то все элементы матрицы равны либо , либо .

Для симметрического графа каждой дуге соответствует единственная дуга , при этом эту пару дуг называют ребром графа. Ребро . Следовательно, симметрическому графу соответствует симметрическая матрица, т.е. элементы матрицы, симметричные относительно главной диагонали, равны .

Если граф не имеет петель (т.е. дуг вида ), то элементы главной диагонали матрицы смежности равны .

№8. Чем отличаются матрицы смежности изоморфных графов?