§3. Частично рекурсивные функции.

Оператор минимизации.

Рассмотрим некоторую n - местную частичную функцию. Допустим, что существует какой - либо «механизм» для вычисления значений функции, причём значение функциитогда и только тогда неопределённое, когда этот механизм работает бесконечно, не выдавая определённого результата.

Фиксируем какие-нибудь значения для первых аргументов функциии рассмотрим уравнение

. (1)

Чтобы найти натуральное решение этого уравнения, будем вычислять при помощи нашего «механизма» последовательно значениядля значений.

Наименьшее значение , для которого получится равенство:, обозначим следующим образом:

. (2)

Описанный процесс нахождения значений выражения (2) будет продолжаться бесконечно в следующих случаях:

а) значение не определено;

б) значения дляопределены, но отличны от, а значениене определено.

в) значения определены для всехи отличны от.

Во всех этих случаях значение выражения (2) считается неопределённым. В остальных случаях описанный процесс обрывается и дает наименьшее решение уравнения (1). Это решение является значением выражения (2).

Например, мы уже ввели операцию усечённой разности:

Поэтому, по определению символа , для всехимеем.

Аналогично ,.

Значение выражения – неопределенное, т.к. уже значение терма- неопределенное, хотя уравнениеимеет решение.

Этот пример показывает, что для частичных функций выражение (2) строго говоря, не есть наименьшее решение уравнения (1). Если функциявсюду определённая и уравнение (1) имеет решение, то (2) есть наименьшее решение для (1).

Значение выражения (2) при заданной функции зависит от выбора значений параметрови потому оно является частичной функцией от аргументовx₁. Эту функцию обозначим: , гдесимвол операции, переводящей функциюв.

Если функция – одноместная, то функциюобозначаюти называютобратной функцией. Таким образом, .

Для многоместных функций записьне употребляется. Операторназываютоператором минимизации. Например, из записи следует, что.

Определение: Частичная функция называетсячастично рекурсивной относительно системы частных функций , еслиможет быть получена из функций системыи простейших функцийконечным числом операций подстановки, примитивной рекурсии и минимизации.

Частичная функция называется частично рекурсивной, если она может быть получена из простейших функций конечным числом операций подстановки, примитивной рекурсии и минимизации.

Таким образом, частичная рекурсия называется частично рекурсивной, если она является значением операторного терма, записанного с помощью операторных символови символовпростейших функций.

Из определения вытекают следующие свойства частично рекурсивных функций:

1)Каждая частичная функция, примитивно рекурсивная относительно системы функций , являются и частично рекурсивной относительно. В частности, все примитивно рекурсивные функции частично рекурсивны.

2)Класс частично рекурсивных функций шире класса примитивно рекурсивных функций, так как все примитивно рекурсивные функции всюду определённые, а среди частично рекурсивных функций встречаются и функции, не всюду определенные, например и даже нигде не определенная функция.

3)Операции подстановки, примитивной рекурсии и минимизации, произведенные над функциями, частично рекурсивными относительно системы , дают в результате функции, снова частично рекурсивные относительно.

Чтобы получить представление о связи между примитивно рекурсивными и частично рекурсивными функциями, введем следующие понятия.

Характеристической функцией какого-нибудь множества натуральных чиселназывается одноместная функция, равнаяв точках множестваи равнаяв точках, не принадлежащих.Частичной характеристической функцией множества называется функция, равнаяв точках множестваи не определённая в точках, не принадлежащих .

Например, характеристическая функция пустого множества есть функция, равная для всех натуральных чисел, а частичная характеристическая функция пустого множества есть нигде не определенная функция.

Вообще, характеристическая и частичная характеристическая функции совпадают лишь для множества всех натуральных чисел.

Множество натуральных чисел называетсяпримитивно рекурсивным, если его характеристическая функция примитивно рекурсивна. Множество называетсячастично рекурсивным, если его частичная характеристическая функция частично рекурсивна. Аналогично определяются понятия примитивно рекурсивного и частично рекурсивного множества относительно системы функций .

Теорема 1: Каждое (относительно) примитивно рекурсивное множество является (относительно) частично рекурсивным.

Доказательство: Действительно, пусть - характеристическая функция какого-нибудь множества натуральных чисел. Тогда функция, определяемая равенством, будет частичной характеристической функцией множества, так как операция вычитания частично рекурсивна, то и функциятакже частично рекурсивна.

Теорема 2: Пусть - произвольная примитивно рекурсивная функция и- любое примитивно рекурсивное множество натуральных чисел. Тогда частичная функция, определённая схемой:

,

является частично рекурсивной.

Доказательство: В самом деле, по теореме 1, частичная характеристическая функция множествачастично рекурсивна. Но по определению функциидля всех значенийимеет место равенствои, значит, функция- частично рекурсивна.

Доказанная теорема позволяет строить многочисленные примеры частично рекурсивных функций.

Понятие частично рекурсивной функции - одно из главных понятий теории алгоритмов.

С одной стороны, каждая частично рекурсивная функция вычислима путем определённой процедуры механического характера, которая отвечает нашему интуитивному представлению об алгоритмах. С другой стороны, какие бы классы точно очерченных алгоритмов до сих пор фактически ни строились, во всех случаях неизменно оказывалось, что числовые функции, вычислимые посредством алгоритмов этих классов, были частично рекурсивными.

Поэтому общепринятой является следующая естественно научная гипотеза.

Тезис Чёрча. Класс алгоритмически вычислимых частичных числовых функций совпадает с классом всех частично рекурсивных функций.

Тезис Чёрча доказать нельзя, т.к. не существует строгого определения понятия вычислимой функции.

Обобщением тезиса Чёрча является тезис Тьюринга.

Тезис Тьюринга: Класс функций, алгоритмически вычислимых относительно какой-нибудь функции (или класса функций), совпадает с классом частичных функций, частично рекурсивных относительно(соответственно относительно системы).

Из тезиса Тьюринга вытекает тезис Чёрча.

Понятие общерекурсивной функции.

Для каждой частично рекурсивной функции существует механический процесс, посредством которого любое натуральное числоперерабатывается в значениефункции. Этим процесс продолжается бесконечно, не давая окончательного результата, тогда и только тогда, когда значение функциив точкене определено. Таким образом, всюду определенная частично рекурсивная функция - это функции, для вычисления значений которой существует алгоритм, обрывающейся через конечное число шагов для любого начального числа. Алгоритмы, которые перерабатывают в определенное число любое заданное число, играют особую роль в теории алгоритмов. Вместе с ними особое положение в теории рекурсивных функций занимают всюду определённые частично рекурсивные функции. Такие функции называютсяобщерекурсивными.

Можно доказать, что многие известные арифметические функции являются примитивно рекурсивными. Среди них, например, неполное частное и остаток при делении натурального числа на число. Примитивно рекурсивной является характеристическая функция множества всех простых чисел натурального ряда.

Одна из наиболее известных арифметических функций - функция - равная числу простых чисел, не превосходящих. Эта функция примитивно рекурсивная.

Если значения примитивно рекурсивной, общерекурсивной или частично рекурсивной функции изменить лишь на конечном множестве точек, то новая функция будет снова примитивно рекурсивной, общерекурсивной или соответственно частично рекурсивной.

Примитивно рекурсивными будут следующие множества натуральных чисел:

1) любая конечная совокупность чисел;

2) множества чисел вида ;

3) множества чисел вида и т.д.