§7. Графы правильных многогранников.

Теория графов позволяет решать задачи из традиционных разделов математики, например, исследовать некоторые свойства правильных многогранников. При этом, используя элементы теории графов, многогранники могут быть рассмотрены с точки зрения, отличной от традиционной. Изображение фигур при этом могут стать более простыми и наглядными.

Правильные многогранники (платоновы тела) – это выпуклые многогранники, гранями которых являются правильные плоские фигуры. Всего существует пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр. Гранями тетраэдра, октаэдра и икосаэдра являются правильные треугольники, гранями куба – правильный четырёхугольник (квадрат). Гранями додекаэдра есть правильные пятиугольники. Других платоновых тел не существует.

Вместо объёмных изображений правильных многогранников можно использовать их плоские изображения (графы). Графы правильных многогранников внешне напоминают сами многогранники. Их можно рассматривать, как проэкции объёмных тел на плоскость, проходящую через произвольную грань. Из рисунка видно, что графы всех правильных многогранников являются симметрическими, связными и плоскими. Они не содержат самопересечений рёбер, кроме пересечений в вершинах. Эйлерова характеристика каждого из этих графов равна 2.

Графы правильных многогранников содержат циклы. Их количество можно подсчитать, используя формулу цикломатического числа: . Цикломатическое число – это количество независимых циклов на графе. Оно указывает на число рёбер, которые нужно удалить, чтобы граф стал нециклическим (деревом).

Особый интерес представляют задачи, связанные с отысканием на графах циклов различных видов. Гамильтонов цикл – это цикл, проходящий через каждую вершину по одному разу. Эйлеров цикл – это цикл, проходящий через каждое ребро по одному разу (существует не для всякого графа).

Теория конечных автоматов Введение.

Теория конечных автоматов исследует тематические модели, приближенно отражающие физические или абстрактные явления, причем эти модели могут быть из области психологии, административного управления, связи, лингвистики, теории ЭВМ и т.д. С помощью конечных автоматов можно исследовать нервную систему животных или человека и проектировать ЭВМ.

Универсальная ЭВМ состоит из 5 устройств:

1) устройство ввода;

2) устройство памяти;

3) арифметическое устройство;

4) устройство управления;

5) устройство вывода.

Последовательность действий машины определяется программой, которая выполняется последовательно. Сама программа может предусматривать пропуск или повторение информации, хранящейся в памяти, т.е. от внутреннего состояния машины.

ЭВМ бывают цифровые и аналоговые. Мы здесь рассматриваем цифровые. Все сигналы в такой машине двузначны, т. е. принимают значения из множества .

Материальные носители и преобразования сигналов – конечны. Множество состояний любой машины также конечно.

§1. Определение автомата Мили. Автомат Мура.

Определение: Конечным автоматом называется набор из 5 объектов , где:

- входной алфавит;

­ выходной алфавит;

­ множество внутренних состояний;

­ функция перехода (в следующее состояние);

­ функция выхода.

Таким образом, конечный автомат описывается тремя множествами и двумя функциями. Обе функции зависят от текущего внутреннего состояния и от входного символа, считываемого в данный момент времени. Автомат действует следующим образом. Конечный автомат, находящийся во внутреннем состоянии , считывает входной символ. Функцияпринимает на парезначение- первый символ выхода. Функцияпринимает на парезначение, которое является следующим внутренним состоянием.

Пусть входящие символы записаны на входной ленте: **********. Автомат считывает с нее символы один за другим. По прочтению каждого символа автомат печатает выходной символ на выходной ленте и переходит в новое внутреннее состояние.

В определении подразумевается, что функции ив описании автоматаМ всюду определены, т.е. каждая пара из прямого произведения задает их значения. Такое описание автомата является полным, т.е. если задано начальное состояние автомата, то он способен считывать любую последовательность входных символов и выдавать однозначно определенную цепочку символов на выходе.

Конечный автомат считается заданным, если заданы множества (конечные), а также даны функцииили приведено их описание. Существует три способа задания конечных автоматов:таблица, диаграмма и матрица переходов.

Пример 1. Конечный автомат задан следующим образом:

, ,.

Значения функций заданы таблицей:

	S0 0S1,		(S0, 0)0,
	S0 S0,		(S0, 1)1,
	S1, 0S2,		(S1, 0)1,
	(S1, 1)S1,		(S1, 1)0,
	(S2, 0)S0,		(S2, 0)1,
	(S2, 1)S2,		(S2, 1)0.

Пусть на входе дана двоичная последовательность 0101 и автомат находится в состоянии , тогда на выходе получаем последовательность:0010.

Этот автомат можно наглядно представить в виде диаграммы, которая, по сути, является ориентированным графом.

Вершины этого графа помечены символами, обозначающими внутреннее состояние. Каждая дуга помечено парой символов (метка) , где- входной символ, вызывающий переход в следующее состояние, а- символ на выходе.

Второй способ описания автомата – таблица состояний. Этот способ часто приводится в виде условия задачи. Это просто табличное представление функций и:

Текущее состояние

Таблица удобнее для вычислений, диаграмма - нагляднее. Например, по диаграмме легко обнаружить состояния, не достижимые из других состояний.

Кроме того, автомат можно задать с помощью матрицы. Такая матрица всегда будет квадратной по форме, а размерность её зависит от количества внутренних состояний. Каждая позиция матрицы отвечает за определённый переход из одного состояния в другое. Если какой-то переход существует, то на определённом месте матрицы должна стоять соответствующая метка. Если же некоторый переход отсутствует, то на этом месте в матрице стоит ноль.

Пример 2. По приведенному описанию построить конечный автомат. Задать его таблицей и диаграммой. Данный автомат проверяет четность числа считываемых единиц на входе из последовательности нулей и единиц, и выводит на печать символы чёт и нечёт в ответ на запрос, которому соответствует входной символ Q.

Согласно условию, алфавит на входе: , алфавит на выходе состоит из символов:. Множество внутренних состояний:, где содержание этих состояний следующее:- считано четное число единиц;- считано нечетное число единиц.

Анализируя работу автомата, можно составить таблицу:

Текущее состояние				
	0	1	Q	0	1	Q
S0	S0	S1	S0	0	1	чёт
S1	S1	S0	S1	0	1	нечёт

Считав символ Q, автомат печатает "чет", если число ранее считанных единиц было четно, и "нечет" - если нечетно. Например, входная последовательность символов имела вид: 0110Q1110Q. Она будет переработана в последовательность: 0110четн1110нечет.

Диаграмма для данного автомата может быть составлена с помощью построенной таблицы:

Любой конечный автомат Мили может быть преобразован в автомат, в котором выходной символ является функцией только состояния в настоящий момент.

Для этого полагают - новый алфавит,,. Отсюда получаем выражение для:или.

Такой автомат называется автоматом Мура. Так как автоматы Мили и Мура можно преобразовать друг в друга, то обычно достаточно рассматривать автомат Мили, тем более что число состояний у него меньше, чем у соответствующего автомата Мура.