Алгоритм Форда - Фалкерсона для нахождения потока наибольшей величины.
1°. Перенумеровать произвольным образом вершины сети , отличные от входа и выхода .
2°.
Построить произвольный поток
на транспортной сети
(например, положить
).
3°.
Просмотреть пути, соединяющие вход сети
c
выходом
.
Если поток
полный, то перейти к пункту 4°. В противном
случае рассмотреть путь
,
соединяющий
с
,
все дуги которого не насыщены. Построить
новый поток
:
где
.
Повторить этот процесс до получения
полного потока
.
4°. Присвоить целочисленные метки вершинам сети и знаки «+» или «-» дугам по следующим правилам:
а) входу присвоить метку 0;
б) если вершина
получила некоторую метку, а
—
еще непомеченная вершина, то вершине
,
такой что
присвоить метку
,
а дуге
—
знак «+»; вершине
,
такой что
,
присвоить метку
,
а дуге
—
знак «-». Остальные непомеченные вершины
и дуги метки и знака не получают;
в) повторить процесс, описанный в пункте 4°б) до тех пор, пока не прекратится появление новых отмеченных вершин и дуг. Если в результате процесса 4°б) вершина не получит метки, то поток обладает наибольшей величиной. В противном случае перейти к пункту 5°.
5°.
Рассмотреть последовательность
отмеченных вершин
,
каждая из которых имеет метку, равную
номеру последующей вершины, и
последовательность дуг
и (не обязательно путь), соединяющих
последовательные вершины из
.
Построить новый поток
:
Перейти к пункту 4°.
2. Соотношение между величиной потока и пропускной способностью разреза сети.
Введем новые понятия теории транспортных сетей.
Определение
4: Пусть
множество
- такое множество вершин графа, что
.
Множество
дуг, заходящих в
,
т. е. соединяющих вершины
с вершинами
,
называется разрезом
сети
.
Определение
5: Пропускной
способностью
разреза
называется сумма пропускных способностей
дуг, входящих в разрез, т. е.
.
Лемма: Для любого потока и любого разреза справедливо соотношение:
.
Доказательство:
В силу того, что выход сети
,
для величины потока
справедливы соотношения:
.
Следствие:
Если для некоторого потока
и некоторого разреза
выполняется равенство
,
то поток
обладает наибольшей величиной.
Лемма и следствие необходимы для обоснования рассмотренного алгоритма.
Обоснование алгоритма.
Прежде всего,
заметим, что реализация алгоритма
состоит из конечного числа шагов. В
самом деле, п. 3°
может применяться лишь конечное число
раз, так как на каждом шаге величина
потока увеличивается, по крайней мере,
на единицу. Вместе с тем величина любого
потока не может превзойти суммарной
пропускной способности дуг, инцидентных
выходу сети
.
Процесс присвоения меток в силу того, что каждый раз получают метку еще неотмеченные вершины, конечен. И, наконец, в п. 5° поток обладает большей величиной, чем . Это вытекает из того, что по определению вершины и правил п. 4°б) дугам, входящим в , может быть присвоен только знак «+».
Получаемая по
правилу 3°
функция
— поток. Это непосредственно следует
из того, что
— путь. В соответствии с правилом п. 5°
строится также поток. Чтобы доказать
это утверждение, рассмотрим три соседние
вершины последовательности
.
В силу правила 4°б)
возможны только ситуации, представленные
на рис. 10. Но в этих ситуациях
— поток.
Пусть процесс,
описанный в п. 4°б),
приводит к тому, что вершина
не получает метки. Обозначим через
множество непомеченных вершин. В силу
того, что
,
множество
определяет разрез сети
.
Каждая дуга
соединяет помеченную вершину
с непомеченной вершиной
.
Вершина
может остаться непомеченной при условии,
что
.
Аналогично, на каждой дуге
(выходящей из
)
выполняется равенство
,
поэтому справедливы соотношения:
.
В силу леммы это означает, что поток обладает наибольшей величиной.
Рис. 10
Проведенное рассуждение совместно с леммой составляют доказательство следующей теоремы.
Теорема 1: Для
заданной транспортной сети величина
наибольшего потока равна наименьшей
пропускной способности разрезов, т. е.
.
Рис. 11
В качестве примера
применения алгоритма Форда - Фалкерсона
рассмотрим транспортную сеть
и полный поток
,
для которого
(рис. 11). Применяя правила 4°
и 5°
алгоритма, можно получить поток с
величиной
.
3. Задача о назначении на должность (комбинаторная прикладная задача).
Пусть в некотором
учреждении имеется 6 вакантных должностей
и 6 работников
.
Рис. 12
Граф , изображенный на рис. 12, иллюстрирует, какие должности может в силу своей квалификации занимать работник . Пусть выполнено условие: каждый работник может занимать хотя бы одну должность и на каждую должность претендует хотя бы один работник. Можно ли произвести назначение на должности так, чтобы все шесть должностей заняли работники соответствующей квалификации?
Один из способов
решения этой задачи состоит в рассмотрении
вспомогательной транспортной сети
.
Для ее получения добавим к множеству
вершин графа
еще две вершины: вход
и выход
.
Соединим
с каждой вершиной
дугой пропускной способности
и каждую вершину
с
дугой пропускной способности
.
Припишем дугам исходного графа
бесконечные пропускные способности.
Получим транспортную сеть
,
изображенную на рис. 13.
Рис. 13
Ясно, что если на
сети
будет существовать поток такой, что
,
то есть поток, насыщающий выходные дуги
(одновременно он будет насыщать и входные
дуги
),
то требуемое назначение будет возможно
произвести. Нужно назначить работника
на должность
в том и только том случае, когда
.