1.2. Типові завдання та приклади їх розв'язання

Завдання 1. у процесі дослідної експлуатації партії перетворювачів (i=1…60, де i – номер відповідного перетворювача) електричного струму було одержано дані відносно T_i- напрацювання до першої відмови. наведені в табл. 1.1. Необхідно визначити емпіричні закони розподілу T_i.

Розв’язання. Оцінюємо кількість інтервалів за (1.3):

k=1+3,2lg60=1+3,21,78=6,697

Потім обчислюємо ширину інтервалів за (1.4), ураховуючи, що T_min=750; T_max=1350:

Ширину інтервалу дещо завищуємо, щоб у кожний інтервал потрапило більше значень T_i. Визначаємо межі інтервалів. Для цього розраховуємо середнє значення даної виборки:

Таблиця 1.1

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Ti, год	1050	875	1075	850	975	750	800	800	950	1000
i	11	12	13	14	15	16	17	18	18	20
Ti, год	1350	1200	1100	1025	1050	1025	1000	900	1100	815
i	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Ti, год	1000	900	750	900	975	900	750	975	775	950
i	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
Ti, год	900	900	850	850	850	875	875	900	1250	1300
i	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
Ti, год	1200	775	750	1100	950	950	800	975	975	1150
i	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
Ti, год	1050	800	775	1200	1000	1100	800	875	900	1300

На числовій осі рис.(1.3) позначаємо m^*(T); по обидва боки від середнього значення відкладаємо спочатку по половині інтервалу , а потім – по цілому інтервалуТ, доки крайні інтервали не перекриють T_min і T_max.

Рис. 1.3

Межі інтервалів заносимо в графу 2 табл.1.2. ліву межу позначаємо круглою дужкою (відкрита межа), праву – квадратною (закрита межа). Це означає, що коли якийсь елемент сукупності (вибірки) потрапив рівно на межу інтервалів, то його слід відносити тільки до лівого інтервалу.

Таблиця 1.2

№ інтерв	Межі інтервалів Tj…Tj+1	Емпірична абсолютна частота n*j	Емпірична відносна частота
1	(745..835]	13	0,21	0,21	0,195
2	(835…925]	16	0,27	0,48	0,386
3	(925…1015]	13	0,21	0,69	0,614
4	(1015…1105]	10	0,16	0,85	0,805
5	(1105…1195]	1	0,02	0,87	0,924
6	(1195…1285]	4	0,08	0,96	0,978
7	(1285…1375]	3	0,05	1,00	1,00

Згідно з даними табл. 1.1 розраховуємо абсолютні n^*_j і відносні P^*_j статистичні частоти попадання T_i в інтервали. Для цього доцільно спочатку побудувати варіаційний ряд, а потім обчислити n^*_j та P^*_j.

Результати обчислень заносимо в графи 3 і 4 табл. 1.2.

Розділивши значення графи 4 табл. 1.2 на ширину інтервалу Т, виходячи з правила (1.6) дістанемо емпіричну щільність розподілу f^*(T). Графічне зображення f^*(T) у вигляді гістограми показане на рис. 1.4.

Рис 1.4

Аналізуючи одержану гістограму, зробимо деякі важливі для практики висновки. По-перше, розподіл має не симетричну форму, тому середнє значення напрацювання на відмову m^*(T) не збігається з модою розподілу T_im.

По-друге, маємо справу з двомодальним розподілом.

Користуючись правилом (1.5), визначаємо емпіричну функцію розподілу F^*(T) і заносимо її в графу 7 табл. 1.2. Графічне зображення F^*(T) у вигляді полігону нагромаджених частот показане на рис. 1.5.

Рис. 1.5

Завдання 2. Для емпіричного розподілу, одержаного при розв’язанні завдання 1, перевірити гіпотезу про нормальність закону розподілу напрацювання до першої відмови перетворювача електричного струму.

Розв’язання. Для перевірки гіпотези про нормальність закону розподілу застосуємо критерій ² Пірсона.

Згідно з (1.7) для визначення міри розбіжності розподілів необхідно знати теоретичні частоти попадання у відповідні інтервали. Для цього спочатку знайдемо середини інтервалів:

Скориставшись даними табл. 1.2. дістанемо Т^*₁=790; Т^*₂=880; Т^*₃=970; Т^*₄=1060; Т^*₅=1150; Т^*₆=1240; Т^*₇=1330.

Потім нормуємо межі інтервалів за формулою:

де - середньоквадратичне відхилення.

У процесі нормування меж інтервалів припускаємо, що найменша межа , найбільша. Значенняm^*(T)=970 дістали в процесі розв’язування завдання 1.

Тоді відповідну дисперсію знаходимо за формулою:

Зауважимо, що обчислення за згрупованими даними дає:

де значення n^*_j , було взято з табл. 1.2.

Як бачимо, , тобто принципово завищується остаточний результат, але в даному випадку це не відіграє суттєвої ролі.

теоретичні ймовірності P_j попадання нормованої величини Z⁰ в інтервали j=1,2,…,7 знайдемо за допомогою функції Лапласа (дод. 2), виходячи з формули:

Дані в дод. 2 наведені тільки для Z⁰0, тому для того щоб знайти Ф(Z⁰)? треба скористатися антисиметричною властивістю функції Лапласа відносно Z⁰=0:

Ф(-Z⁰)= – Ф(Z⁰).

Результати розрахунків P_j та n_j=P_jn зводимо в табл. 1.3.

Перед тим як обчислити значення ², скоректуємо гістограму на рис. 1.4. Практикою встановлено, що при використанні критерію Пірсона висновки будують надійними, якщо кількість попадань у відповідний інтервал:

n^*_j5.

Якщо в крайні інтервали попадає менше число елементів, вони об'єднуються із сусідніми інтервалами, але внутрішні інтервали об’єднувати забороняється. При цьому загальна кількість інтервалів К після об'єднання повинна задовольняти умову.

К4.

У цьому разі n^*₆=4, n^*₁=3, тому ці інтервали об'єднаємо. Це означає, що кількість інтервалів зменшилась до К=6.

Таблиця 1.3	Теоретична частота nj=Pjn		11,7	11,5	13,7	11,5	7,1	3,2	1,3
	Теоретична ймовірн ість Pj		0,195	0,191	0,228	0,191	0,119	0,054	0,022
	Значення функції Лапласа	Ф(Z0j+1)	-0,305	-0,114	0,114	0,305	0,424	0,478	0,5
		Ф(Z0j)	-0,5	-0,305	-0,114	0,114	0,305	0,424	0,478
	Нормовані межі інтервалів	Z0j+1	-0,86	-0,29	0,29	0,86	1,43	2,01	+
		Z0j	-	-0,86	-0,29	0,29	0,86	1,43	2,01
	Центровані межі інтервалів	Tj+1 -m*(T)	-135	-45	45	135	225	315	405
		Tj -m*(T)	-225	-135	-45	45	135	225	315
	Межі інтервалів	Tj+1	835	925	1015	1105	1195	1285	1375
		Tj	745	835	925	1015	1105	1195	1285
	Емпірична частота n*j		13	16	13	10	1	4	3
	Середина інтервалу T*j		790	880	970	1060	1150	1240	1330
	№ інтервалу j		1	2	3	4	5	6	7

Скориставшись формулою (1.7) та даними табл. 1.3, знайдемо числове значення ² :

Щоб обчислити критичне значення ², визначимо число ступенів вільності за (1.8). У разі нормального розподілу r=2 (оскільки нормальний закон характеризується двома параметрами – математичним сподіванням і дисперсією).

Тоді f=6-2-1=3.

Задамося рівнем значущості q (тобто значення ймовірності того, що неузгодженість розпо ділів виникла через обмеженості вибірки): чим більший q, тим більша узгодженість статистичного і теоретичного розподілів. На практиці беруть q0,05…0,1.

Візьмемо q=0,05. Тоді за даними дод. 4:

²_КР(0,05;3)=7,82.

Оскільки ²_КР<², треба відкинути гіпотезу про те, що статистичний розподіл щільності випадкової величини Т описується нормальним законом.

Завдання 3. Перевірити гіпотезу про нормальність емпіричного закону розподілу напрацювання до першої відмови, одержаного в процесі розв’язування завдання 1, користуючись критерієм Колмогорова.

Розв’язання. Відомо, що коли при використанні критерію ² Пірсона, ²_КР не істотно перевищує ², остаточне рішення про узгодженість статистичного та теоретичного розподілів щільності приймають після перевірки такої узгодженості за іншими критеріями. У даному випадку виконаємо це за критерієм Колмогорова, для чого побудуємо теоретичну функцію розподілу F(T) з параметрами m(T), D(T), які не відомі. Але в цьому разі можлива заміна теоретичних параметрів m(T), D(T) на статистичні m^*(T), D^*(T).

Проте при цьому треба пам’ятати, що надійність висновків про узгодженість розподілів дещо підвищується. З аналізу даних табл. 1.2 (графи 6 і 7) бачимо, що більша різниця між теоретичною функцією розподілу і полігоном нагромаджених частот виявляється у другому інтервалі:

F=F^*(j=2)-F(j=2)=0,094.

Тоді . За даними дод. 3 знаходимо Р()=0,66

Таким чином, згідно з критерієм Колмогорова гіпотеза про нормальність статистичного розподілу підтверджується.