3.3. Стохастические фракталы

Стохастические фракталы получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо параметры. При этом получаются объекты, очень похожие на природные – несимметричные деревья, поверхности скал, изрезанные береговые линии. В принципе, снежинка Коха очень похожа на природный объект (обычную снежинку), хотя это не стохастический фрактал.

В 1977 году в свет вышла книга американского математика Бенойта Мандельброта (1924-2010) «Фрактальная геометрия природы», в которой этот ученый привлек внимание широкой общественности к потрясающей красоте мира фракталов.

Графики случайных процессов, которые можно наблюдать на дисплеях приборов или на лентах самописцев, также является фракталами. Такие графики академик Яков Борисович Зельдович (1914-1987), полушутя, называл «толстой линией». В своей работе (Зельдович Я.Б., Соколов Д.Д. Фракталы, подобие, промежуточная асимптотика// Успехи физических наук, Том 146, вып. 3, июль 1985. – 493-574.) Зельдович привел пример модели такой линии

, (3.1)

где – последовательность независимых случайных чисел, равномерно распределенных между 0 и(случайный параметр). Ряд (3.1) сходится при. Однако обычной производной у функциив этом случае нет, поскольку соответствующий рядрасходится при. Таким образом, очевидно, что к функциям с не слишком быстро убывающим спектром идеи анализа применимы не в полной мере.

Рис. 3.5. Стохастический фрактал в различных масштабах

На рис. 3.5 показаны графики функции , построенные вMathCAD для различных интервалов изменения аргумента. При построении графиков использовался алгоритм

,

где – функция, генерирующая случайные числа, равномерно распределенные в диапазоне от 0 до 1. Как можно видеть, фрактальная кривая единообразно устроена в широком диапазоне масштабов.

3.4. Энтропийная размерность

Пусть X – компактное пространство с метрикой d. Тогда множество называетсяr-плотным, если , где– шар радиусаr относительно метрики d с центром в точке x. Определим r-емкость пространства (X, d) как минимальное число элементов в егоr-плотном множестве.

Пример 3.1. Например, если X – это отрезок [0, 1] с обычной метрикой, то значение приближенно равно 1/(2r), потому что необходимо 1/(2r) шаров (т.е. интервалов), чтобы покрыть единичный отрезок.

Пример 3.2. Возьмем единичный квадрат . Тогда значениеимеет порядок, потому что требуется по крайней мерешаров радиусаr, чтобы покрыть единичный квадрат. Аналогично, для единичного куба значение имеет порядок.

Определение. Если X – вполне ограниченное метрическое пространство, тогда число называется энтропийной размерностью пространства X .

В англоязычной литературе для энтропийной размерности используют термин «box dimension».

Пример 3.3. Если , то.

Если , то.

Если , то

.

Пример 3.4. Найдем энтропийную размерность для менее тривиальных пространств.

1. Троичное канторово множество. Если С – троичное канторово множество, то (см. табл. 3.1) и

.

В табл. 3.1, приведены данные, помогающие понять логику вычисления размерности троичного канторова множества.

Таблица 3.1

	i	r
	0	1	1
	1	1/3
	2
	3

2. Ковер Серпинского. Для квадратного ковра Серпинского S и

.

Для треугольного ковра Серпинского подобным способом получаем, что его энтропийная размерность равна .

3. Снежинка Коха. Для снежинки Коха К мы имеем , так как ее можно покрыть шарами с центрами на ребрахi-го многоугольника. Таким образом, .