Эмпирические тесты

Рассмотрим специализированные тесты, которые могут быть использованы исключительно для проверки качества датчиков базовых случайных чисел. Каждый тест применяется к последовательности случайных чисел <U>=u₀, u₁, u₂, ..., которые должны быть равномерно распределены между нулем и единицей. Некоторые тесты предназначены для проверки целочисленных последовательностей, т.е. проверке будет подвергаться вспомогательная последовательность <Y>=<y₀, y₁, y₂, ...>, где y_i{0; 1; … , d-1}, т.е. которая определяется следующим образом: y_n=int(d*u_n). (9)

Проверка серий. Проверяется равномерность и независимость пар следующих друг за другом случайных чисел. Для этого подсчитывается сколько раз встречается каждая пара (y_2j, y_2j+1) при 0j<n. Затем применяется критерий ² с числом категорий k=d² и равными вероятностями 1/d² во всех категориях.

Проверка интервалов. В этом тесте проверяется длина интервалов между появлением значений u_i, принадлежащих некоторому заданному отрезку. Если  и  – два действительных числа, причем 0<<1, то подсчитываются длины последовательностей u_j, u_j+1, ..., u_j+r, в которых только u_j+r лежит между  и . Такая последовательность из r+1 чисел определяет интервал длины r.

Проверка комбинаций. В тесте рассматриваются n групп из k следующих друг за другом целых чисел (y_ki, y_ki+1, ..., y_ki+k-1), где 0i<n. Подсчитывается число групп, в которых имеется r разных чисел. Затем с помощью критерия ² проверяется соответствуют ли частоты комбинаций вероятностям.

Проверка полного набора. Используется последовательность y₀, y₁, ... и определяются длина сегментов y_j+1, y_j+2, ..., y_j+r, необходимых для того, чтобы собрать полный набор целых чисел от 0 до d–1.

Проверка перестановок. Разделим исходную последовательность на n групп по t элементов в каждой: (u_jt, u_jt+1, ..., u_jt+t-1), 0j<n. В каждой группе возможно всего t! вариантов относительного расположения чисел. Подсчитывается, сколько раз встречается каждое конкретное относительное расположение, после чего применяется критерий ² с k=t! категорий и вероятностями 1/t!.

При реализации этого теста удобно воспользоваться следующим алгоритмом анализа перестановок.

Любому набору несовпадающих элементов (u₁, ..., u_t) ставиться в соответствие целочисленная функция f(u₁, ..., u_t), такая, что 0f(u₁, ..., u_t)<t! и f(u₁, ..., u_t)=f(v₁, ..., v_t) в том и только в том случае, когда элементы в (u₁, ..., u_t) и (v₁, ..., v_t) расположены в одинаковом порядке. В алгоритме используется вспомогательный вектор (C₁, ..., C_t).

1. Присвоить r=t.

2. Пусть u_s=max(u₁, ..., u_t). Тогда C_r=s-1.

3. Взаимозаменить X_r и X_s.

4. r=r-1

5. Если r>0, то вернуться на шаг 2.

6. f=C_t+tC_t-1+t(t-1)C_t-2+t(t-1)*...*3C₂=(...(C₂3+C₃)4+...+C_t-1)t+C_t

C₁ нигде не используется, так как из шага 2 следует, что C₁ всегда рано 0, причем f(u₁, ..., u_n)=0, если u₂<u₃<...<u_n<u₁, и f(u₁, ..., u_n)=t-1, если u₁<u₂<...<u_n.

Проверка на монотонность. Этот тест выявляет длины возрастающих подпоследовательностей чисел в исходной последовательности. Для корректного применения критерия ² требуется выбрасывать элемент, непосредственно следующий за отрезком монотонности, то есть в случае u_j>u_j+1 очередной отрезок начинается с u_j+2.

Наибольшее из t. Пусть v_j =max(u_tj, u_jt+1, ..., u_jt+t-1) при 0j<n. Применяется КС-критерий к последовательности v₀, v₁, ..., v_n-1, принимая в качестве теоретической функции распределения F(x)=x^t, 0x<1.

Последовательная корреляция. Вычислим статистику:

. (13)

Это коэффициент последовательной корреляции, который служит мерой зависимости u_j+1 от u_j. Желательно, чтобы C было близко к 0, но не равно ему, так как U₀U₁ и U₁U₂ не являются независимыми. Хорошим следует считать значение C, которое находится в 95% всех случаев в пределах между _n-2_n и _n+2_n, где , , n>2. (14)