12

1. Понятие сложной системы и ее математической модели.

Система - множество компонентов, объединенных в единое целое некоторой формой регулярного взаимодействия или взаимозависимости для выполнения определенной функции. При этом компоненты подразделяются на подсистемы, также имеющие внутреннюю структуру, как и сама система, и элементы, которые являются неделимыми с точки зрения исследователя сложной системы. Компоненты имеют определенные характеристики (признаки), которые могут принимать дискретные или непрерывные значения в процессе функционирования системы и ее взаимодействия с внешней средой. Воздействие внешней среды выражается через входные (экзогенные) переменные. С другой стороны, результат работы системы фиксируется через выходные (эндогенные) переменные. Если они характеризуют внутреннюю динамику функционирования системы, то это переменные состояния. Выходные воздействия работы системы на внешнюю среду отражаются через переменные, называемые откликами.

Наиболее характерные особенности сложных систем (СС):

1. Уникальность. Аналогичные по назначению системы имеют ярко выраженные специфические свойства, во многом определяющие их поведение. Так, множество автобусных маршрутов отличается от сети горэлектротранспорта, которые, в свою очередь, имеют существенные отличия от метрополитена. В пределах города эти виды транспорта могут обслуживать население совместно. Схема маршрутов, как правило, подвержена изменениям и т.д.

2. Слабая структурированность теоретических и фактических знаний о системе. Так как изучаемые системы уникальны, то процесс накопления и систематизации знаний о них затруднен. Так, данные, собранные при строительстве одного предприятия, будут лишь частично полезными при строительстве другого подобного объекта.

3. Составной характер системы. Уже на самом первом этапе изучения системы исследователь вынужден использовать понятие подси­стемы как некоторой достаточно автономной части всей системы. Разделение СС на подсистемы, т.е. ее декомпозиция за­висит от принятых технических решений, целей создания системы и взглядов исследователя на нее.

4. Разнородность подсистем и элементов, составляющих си­стему. Составляющие систему элементы и подсистемы разнородны в самых различных смыслах. 1)это – физическая раз­нородность. Так, система городского пассажирского транспорта включает в себя сеть автобусных маршрутов, горэлектротранспорт, метрополитен и т.д., которые, вообще говоря, имеют различную природу. 2)это – разнородность математических схем, описывающих функциони­рование различных элементов. Например, если взаимодействие транспортных средств с пассажирами может быть представлено моделями массового обслуживания, то для описания процесса движения транспорта на дороге часто используют аппарат дифференциальных уравнений.

5. Случайность и неопределенность факторов, действующих в системе. Примерами подобных факторов могут служить погод­ные условия, случайные отказы оборудования, транспорта и т. д. Учет этих факторов приводит к резкому услож­нению задач и увеличивает трудоемкость исследований (необходимость получения представительных наборов данных).

6. Многокритериальность оценок процессов, протекающих в си­стеме. Невозможность однозначной оценки диктуется следующими обстоятельствами: наличием множества подсистем, каждая из которых, вообще говоря, оценивается по своим критериям; множественностью показателей, характеризующих работу всей системы (например, форсирование темпов, как правило, приводит к ухудшению качества работ); наличием неформализуемых критериев, используемых при принятии решений.

7. Большая размерность системы. Эта особенность системы обусловливает потребность в специальных способах построения и анализа моделей.

Составной характер сложной системы диктует представление ее модели в виде тройки <A, S, Т>, где А – множество элементов (в их число включается также внешняя среда); S – множество допустимых связей между элементами (структура модели); Т — множество рассматриваемых моментов времени. Эти понятия могут быть формализованы разными способами. В качестве Т обычно выбирают мно­жество [0, Т₀) или [t₀; T₀), T₀<∞. В каждый момент tТ в множестве А выделяется конечное подмножество А^t = (A₁^t, A₂^t, ..., A_k^t)A элементов, из которых в этот момент состоит модель, а в множестве S – подмножество S^tS, указывающее на то, какие именно связи реализованы в момент t. Следовательно, допускается как переменность состава сложной системы, так и переменность ее структуры.

Основной задачей теории СС считается разработка методов, позволяющих на основе изучения особенностей функционирования и свойств отдельных элементов, анализа взаимодействия между ними получить характеристики системы в целом.

В области естественных наук наиболее распространенными являются два вида моделирования – физическое и математиче­ское. Процесс физического (аналогового) моделирования состоит в изучении си­стемы посредством анализа некоторого макета, сохраняющего физическую природу системы. Примером является модель лета­тельного аппарата. Параметры эксперимента при этом выбирают из соотношений подобия. Однако модели физического типа имеют ограниченную сферу применения. Не для всяких явлений и объектов могут быть по­строены физические аналоги. Достаточно указать на радиолокационные станции, вычислительные центры, организационные системы, производственные процессы и т. п.

Математическое моделирование основано на том факте, что различные изучаемые явления могут иметь одинаковое математи­ческое описание. Хорошо известным примером служит описание одними и теми же уравнениями электрического колебательного контура и пружинного маятника. Математическая модель лишь приближенно описывает поведение реальной системы. Основное назначение модели – сделать возможными некоторые выводы о поведении реальной системы.

Таким образом, математическая модель CC – это совокупность соотношений (формул, неравенств, уравнений, алгоритмов), определяющих выходные характеристики состояний системы в зависимости от ее входных параметров и начальных условий. Ее можно рассматривать как некоторый оператор, ставящий в соответствие внутренним параметрам системы совокупность внешних откликов. После того, как модель построена, необходимо исследовать ее поведение.

Таким образом, в процессе моделирования иссле­дователь имеет дело с тремя объектами: системой (реальной, проектируемой, воображаемой); математической моделью си­стемы; машинной (алгоритмической) моделью. В соответствии с этим возникают задачи построения математической модели, пре­образования ее в машинную и программной реализации машинной модели. В процессе решения этих задач исследователь получает более полное и структурированное представление об изучаемой системе, разрабатывает различные варианты модели, отвечающие разным сторонам функционирования системы и их структурных преобразований. Однако основные проблемы исследования систем на машинных моделях сводятся к получению качественной картины поведения модели, а также необходимых количественных характеристик. При этом исследователь вправе использовать не только информацию, содержащуюся в машинной модели, но и информацию, полученную им на этапе создания модели.

2. Классификация математических моделей сложных систем (сс).

Математические модели можно классифицировать по различным признакам. Если исходить из соотношений, которые выражают зависимости между состояниями и параметрами СС, то различают следующие модели:

• детерминированные, когда при совместном рассмотрении этих соотношений состояние системы в заданный момент времени однозначно определяется через ее параметры, входную информацию и начальные условия;

• стохастические, когда с помощью упомянутых соотношений можно определить распределения вероятностей для состояний системы, если заданы распределения вероятностей для начальных условий, ее параметров и входной информации .

По характеру изменения внутренних процессов выделяют

• непрерывные модели, в которых состояние СС изменяется в каждый момент времени моделирования;

• дискретные модели, когда СС переходит из одного состояния в другое в фиксированные моменты времени, а на (непустых) интервалах между ними состояние не изменяется.

По возможности изменения во времени своих свойств различают

• динамические модели, свойства которых изменяются во времени;

• статические модели, не изменяющие своих свойств во времени.

Если при классификации исходить из способа представления внутренних процессов для изучения СС, то модели разделяются на аналитические и имитационные.

Для аналитических моделей характерно, что процессы функционирования элементов СС записываются в виде некоторых математических схем (алгебраических, дифференциальных, конечно-разностных, предикатных и т.д.). Аналитическая модель может исследоваться одним из следующих способов: аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для искомых величин; численным, когда, не имея общего решения, удается найти частное решения или некоторые свойства общего решения, например, оценить устойчивость, периодичность, и т.п.

В имитационных моделях (ИМ) моделирующий алгоритм приближенно воспроизводит функционирование элементов СС во времени, причем элементарные явления, составляющие динамический процесс, имитируются с сохранением логической структуры и последовательности протекания во времени. Сущность этого метода моделирования обеспечивается реализацией на ЭВМ следующих видов алгоритмов: отображения динамики функционирования элементов СС, обеспечения взаимодействия элементов СС и объединения их в единый процесс; генерация случайных факторов с требующимися вероятностными характеристиками; статистической обработки и графической презентации результатов реализации имитационного эксперимента (ИЭ). Моделирующий алгоритм позволяет по исходным данным, содержащим сведения о начальном состоянии процесса и его параметрах, получать информацию о состоянии СС в произвольный момент времени.

Имитационные модели в большинстве случаев – это динамические (обязательно), стохастические, дискретные модели.

3. Предпосылки для имитационного моделирования (им) сложной системы (сс).

Большинство исследователей считает, что следует выбрать имитационный метод для изучения сложных систем по следующем причинам.

Не существует законченной постановки задачи исследования. Каждый коллектив разработчиков математической модели определяет объект собственных исследований. Каждый раз по-новому вносятся предположения о природе взаимодействующих процессов, обсуждаются факторы, не учитываемые в модели, строится критерий качества функционирования. Как правило, для ИМ задача ставится значительно шире.

Сложность и трудоемкость аналитического аппарата. Для описания отдельных элементов системы подходит различный математический аппарат: теория массового обслуживания, конечно-разностные схемы, булева алгебра в контексте теории графов. Однако возможное количество исходных уравнений и неравенств представляется чрезмерно большим для удовлетворительного решения. Кроме того, известно мало случаев одновременного использования нескольких математических методов в рамках одной задачи.

Необходимость наблюдения за поведением компонентов системы в динамике. Специалистам недостаточно иметь усредненные оценки характеристик функционирования системы. Представляет также интерес временная последовательность возникновения узких мест, эффективность мероприятий по их ликвидации, внесение различных управлений в работу системы и т.д.

Экономическая нецелесообразность постановки натурных экспериментов. Любое исследование сложной системы является дорогостоящим мероприятием. При внесении неудачных изменений в работу реального объекта могут пострадать люди, что вызывает социальную напряженность. Проектирование же новых систем связано с большими материальными затратами. Поэтому в большинстве случаев решения принимаются на основе опыта специалистов предметной области без сотрудничества с научными коллективами. Имитация должна служить для предварительной проверки новых стратегий перед принятием решения в реальной системе.

Необходимость точного отображения функционирования компонентов системы. Аналитическая модель, как правило, не соответствует структуре сложной системе. Следовательно, изучение некоторого периода ее работы потребует разработки отдельной аналитической модели. При имитационном моделировании подобная задача тривиально решается путем сохранения и восстановления промежуточного состояния системы во внешней памяти ЭВМ.

Использование ИМ в качестве тренажера. При подготовке специалистов и освоении правил принятия решений на ИМ может обеспечиваться возможность приобретения новых навыков в управлении системой.

Однако при имитационном моделировании сложных систем несмотря на перечисленные достоинства может возникнуть ряд существенных проблем. Разработка хорошей ИМ часто обходится дороже создания аналитической модели и требует наличия квалифицированных специалистов и больших затрат времени. Иногда может показаться, что ИМ точно отражает реальное положение дел в моделируемой системе, а в действительности это не так. Причем к неверному решению могут привести свойственные именно имитации особенности. При использовании ИМ требуется применять нестандартные методы статистического анализа данных, что усложняет исследование. Преодоление перечисленных выше проблем лежит на пути создания программно-технологического инструментария, позволяющего автоматизировать этапы построения ИМ и тем самым ускорить сроки их исследования.

4. Этапы создания модели системы.

1. Составление содержательного описания объекта моделирования.

Представляет собой выполнение следующих действий. Вначале определяется объект имитации, достаточный для изучения тех сторон его функционирования, которые представляют интерес для исследователя. Устанавливаются границы изучения функционирования объекта. Составляется возможный список ограничений модели, которые допустимы при организации имитации или при наличии которых ещё имеет смысл имитация функционирования сложных систем (СС). Перед разработчиками имитационной модели (ИМ) ставятся вполне конкретные цели моделирования и формулируются основные критерии эффективности, по которым предполагается проводить сравнение на модели вариантов организации СС. Результатом работ на данном этапе является содержательное описание объекта моделирования с указанием целей имитации и аспектов функционирования объекта моделирования, которые необходимо изучить на ИМ. Обычно оно представляет собой техническое описание объекта моделирования, описание внешней среды, с которой он взаимодействует, и временную диаграмму этого взаимодействия.