shpory po fany

№26

Опр: Пусть – линейные простр-ва над одним и тем же полем К. Отображ А: наз. линейным оператором, если:

1);

2).

Если то оператор наз. функционалом

Примеры:

1)Ax=x, X= ◄условия 1) и 2) опр-ия очевидны►

2)Ax=0,x= ◄условия 1) и 2) опр-ия очевидны►

3)Рассм. f:, f(x)=, где x=(,

f(x+y)=+=f(x)+f(y) и f(

Замечание: Линейная ф-ция y=kx+b не является линейным оператором, если b.

Опр: Функционал f:X(X – нормир-ое) наз. огранич., если он линейный и |f(x)|C||x||

Пример: f:, f(x)=, |f(x)|=||||x||, C=2, ||x||=

Теорема: Следующие 4 условия равносильны:

1)А:( - нормир-ые) ограничены

2)А непрер-ен в т.О

3)А непрер-ен на , т.е в каждой точке из

4)А равномерно непрер-ен, т.е. ||A||<

◄Из 4)=>3)=>2) очевидно. Докажем, что из 1)=>4), т.к. А-огранич. =>, то || A||=. Положим

2)=>1) Пусть А – непрер в т.О, т.е. 0:: ||x-0||<

A(0)=A(x-x)=Ax-Ax=0

В силу опред-ия для : :: ||x||<. Пусть , , тогда ||||=||||==>||A||<1 или ||A()||=<1; ||Ax||<||x||►

№27

Опр: Пусть А – огранич. оператор из в (А: – нормир-ые, число ||A|| наз. нормой оператора А, если:

1)||Ax||||A||||x||,

2): ||A||>(||A||-)||||, т.е. ||A|| - наименьшая из констант в нер-ве огранич-ти.

Теорема: Норма огранич. оператора А может быть вычислена по любой из след-их формул:

1)||A||=

2)||A||=

3)||A||=

◄Пусть x и ||x||, тогда ||Ax||||x||C, по основной теореме из матана ||A||==||A||. Проверим 1) условие точной верхней грани: 1)||Ax||||A||||x||||A||; 2) , ||A => рав-во 1) доказано. Рав-во 2) следует из док-ва рав-ва 1). Фор-ла 3) следует из рав-ва {||Ax|| | ||x||=1}={}, т.к. ►

Пример:

А: , (Ax)(t)=(, [a,b]=[0,1], ||Ax||=

(t), на [0,1], ||=1 ||A||=2|||| ||Ax||||x||.

Замечание: При нахождении нормы в нер-ве огранич-ти пытаются найти наименьшую константу по возможности и элемент на котором оно превращается в рав-во, тогда эта константа и будет нормой оператора.

№28

Пусть L( – простр-во лин-ых огранич. операторов из . Определим в простр-ве L( операции сложения и умножения на элементы из К слева. Пусть А,ВL(, (A+B)(x)=Ax+Bx,x, (λA)x=λAx,λ(К – поле над которым определены )

||(A+B)x||=||Ax+Bx||||Ax||+||Bx||||A||||x||+||B||||x||=(||A||+||B||)||x|| => A+В – ограничены, т.е. (A+B)L(. Аналогично проверяется, что λAL(. Аксиомы лин-го простр-ва будут выполн-ся в силу опред-ия суммы и произведения элементов из К операторов и из линейности . Итак L( – линейное простр-во. Док-ем, что оно является нормир-ым простр-ом с нормой – нормой оператора. Норму АL(, ||A||=. Проверим выполнение аксиомы для данной фор-лы: 1)Пусть ||A||=0 => =>Ax=0 => A – нулевой оператор (А=0); 2)||λA||==|λ|||A||. В силу опр-ия нормы оператора и подчеркнутого нер-ва L( - нормированное простр-во, а => и метрич.

Теорема: Если - банохово, то L( - банохово.

№29

Пусть - нормир-ое простр-во. Обозначим Х*=L(X,K) – мн-во линейных функционалов K=R или K=ℂ и наз. сопряж-ым оператором.

Из теоремы(Если - банахово, то L( – банахово) следует, что Х* - банахово. Пусть A: B:, тогда определим оператор (BA)(x)=B(Ax), BA: . Покажем, что если А и В огранич., то ВА – огранич. ||(BA)x||=||B(Ax)||||B||||Ax||||B|| ||A|| ||x||.

Опр: Пусть АL(, f*, тогда определен (fA)(x)=f(Ax),x, fA:, т.е. fA* тем самым определен оператор А*:** по фор-ле А*(f)=fA (линейность ВА следует из опред-ия (BA)(x+y)=B(A(x+y))=B(Ax+Ay)=B(Ax)+B(Ay)=(BA)x+(BA)y

A* - сопряженный оператору А, Х* - сопряженное простр-во Х.

Утв: Если А лин-но огранич. оператор из в , то А* линейно огранич. оператор из * в * и ||A*||.

◄A*f=fA,A*()=()A.Пусть х A*()(x)=()(Ax) =((Ax)+(g)(Ax)=+(Ax)==*f)(x)+*g)(x) =(A*f+A*g)(x) => линейный оператор. Докажем огранич: ||A*f||=||fA||||A||||f||=>||A*||||A||►

Свой-ва сопряженных операторов:

1)(A+B)*=A*+B*

2)(A)*=A*

3)(AB)*=B*A*

Эти свой-ва док-ся только исходя из опр. сопряженного оператора, также как линейного сопряженного оператора в утверждении.

№30

Теорема(Банаха-Штейнгауза): - банахово простра-во, нормир-ое простра-во, М⊂L( и x: ||Ax|| . Тогда : ||A||C .

Следствие: Если послед-ть {}, L(, – банахово, сильно сходится к оператору А, то А L(.

◄Возьмем М={|n}⊂ L(, ||x|||||A|| ||x||. Т.к. сходится сильно к А, то ||x-Ax||0 при n.Для ||x-Ax||<1,тогда ||x||+||Ax||||Ax||+1,n. , ||x|| . По теореме(равномерной огранич) : ||x|| (1). Т.к. ||x||= и под знаком расстояния можно перейти к пределу(см. следствие сжимающих отображ), то переходя к пределу в нер-ве (1), получим ||Ax||►

Второй принцип функц-го анализа – теорема Ханна-Банаха « о продолжении однородновыпуклого функционала.

№31

Опр: Пусть А: - линейный оператор ( - линейные простр-ва). В: наз. правым(левым) обратным к оператору А, если АВ=(BA=), где - тождественный оператор в Х: по фор-ле x=x. Если В является праым(левым) обратным оператором к А, о он наз. обратным к А и обознач.

Если А: - линейный оператор и , то - линейный оператор.

◄:. Пусть . Положим , A)=(A)) = =, A. =A=, ►

Теорема(Банаха об обратном операторе): Пусть - банаховы простр-ва, А: - огранич. оператор и А – биекция. Тогда и он ограничен.

№32

Понятие спектра обобщает понятие собственных значений матрицы. Пусть А:ХХ, Х – банахово простр-во. Рассм. Ax=λx,λ. Если это урав-ие при некотором имеет ненулевое решение , то будем наз. собственным значением оператора А, а - соответств-им ему собственным век-ом(А). Если λ – собственное значение оператора А, то оператор (A-λI) не имеет обратного, т.е. , т.к. 2 различных элемента и переходят в нуль при таком отображении.

Опр: λ наз. резольвектной точкой оператора А, если и он ограничен.

Мн-во всех резольвектных точек опер-ра А будем обознач. λ – резоль-ой точкой}, а спектром опер-ра А будем наз. . Заметим, что собств-ые знач. опер-ра А являются точками спектра и мн-во всех собственных значений наз. дискретным спектром опер-ра А и обозн. – собств. знач. опера-ра А}, оставшуюся часть спектра наз. непрерывным спектром и обознач. .

Теорема: Если А: ХХ – огранич. оператор, Х – Банахово простр-во, то - компактное мн-во, т.е. спектр – замкнутое и ограниченное мн-во в и ||A||}.

№33

Опр: Пусть и - нормир-ые простр-ва А: наз. компактным(вполне непрер-ым), если огранич-го мн-ва в переводим в предкомпактное мн-во в , или : В – огранич., А(В) – предкомпактное.

Теорема 1: Для того, чтобы А: был компактным  огранич. послед-ть {}, подпослед-ть {}: {} фундаментальна.

◄(=>) Пусть А – компактно, – огранич., {A – предкомпактно => {}:{} – фундам-на(из того, что {} – предкомпактно).

(<=) Пусть В – огранич. и {}:. По опр. образа А(В)={Ax|x}=>. Т.к.

В – огранич., то {} – огранич и по условию теоремы {}:{} фундаментальна или {} – фунд-ная подспослед-ть, где . Тогда по опр. А(В) – предкомпактно.►

Теорема 2: А: компактен  когда А(В[0,1]) – предкомп-но, где В[0,1] – единич. шар в

◄(=>)Если А – компактен,то из компак-ти => A(B[0,1]) – предком-но, где - огранич. мн-во

(<=) Пусть В – огранич. мн-во. По опр. . C другой стороны , т.к. x=||||=||x||r=1, A(B)⊂A(B[0,r]).►

№34

Примеры:

1)А: ,

Ax=()

В силу теор-ы(А: компактенкогда А(В[0,1]) – предкомп-но,где В[0,1] – единич. шар в ) необход. Док-ть, что А(В[0,1]) – предкомпактно. В[0,1]={x}

a) Пусть x[0,1]. Рассм. ||Ax||=, ||x||=

б) . Оператор А – компактен.

2)А:, (Ax)(t)=, где – непрер-на на [a,b]x[a,b]

a)||Ax||=M(b-a),[0,1]

б) По теор. Кантора для ф-ции нескольких переменных из непрер-ти Л(ебы) на компакте К следует её равном-ая непрер-ть на нем, т.е. . |(Ax)()-(Ax)( при |.

Свой-ва компактных опер-ов:

1)Тождественный оператор компактен  когда он действует в конечномерном прострав-ве.

2)Предел послед-ти компактных операторов сходящейся по норме, компактен.

3)Если А - компактное, а В – огранич., то АВ и ВА компактный опер-ор: (А:)

4)Если А – компактный оператор, то он не может иметь ограниченного обратного, т.е. нуль – точка спектра компактного оператора.

◄Предположим - огранич., по свой-ву 3)А – компактный, что противоречит свой-ву 1) то, что нуль – принадлежит спектру.►

5)Если А - компактный опер-ор, то А* - компактный(А* сопряженный к А).

№35

Опр: Пусть Х – лин. простр-во над полем К. Будем говорить, что на Х определено скалярное произведение, если x,yX поставлено в соотве-ие (x,y) так, что при этом выполнены след. аксиомы:

1)( и (λx,y)= x,y, (линейность по 1-ой координате)

2)(x,y)= (эрмитовость)

3)(x,x), (х,х)=0 =>x=0

Примеры:

1)X=R, (x,y)=xy◄аксиомы очевидны►

2)Х=, (x,y)=, x=( и y=( ◄аксиомы очевидны►

3)Х=, (x,y)=◄3)свой-во скалярного произв-ия=>из свой-в интег-ла Лебега►

4)Х. Скалярное произв-ие из примера 3) можно ввести и в dt.

Опр: Линейное(векторное) простр-во с введенным на нем скалярным произв-ем наз. предгильбертовым простр-ом.

Утв 2(нер-во Коши-Буняковского): Пусть Н – предгильбертово простр-во, тогда справ-во нер-во |(x,y)|

◄(x+λy,x+λy), (x+λy,x+λy)= (x+λy,x)+, λ: (x+λy,y)=0, т.е. (x,y)+λ(y,y)=0 или λ= -. При таком λ, (x+λy,x)0, (x,x)+λ(y,x)0 или (x,x) – =>(x,y)(y,x)(x,x)(y,y). По аксиоме 2) (x,y)(y,x)(x,x)(y,y), (x,y), , откуда и следует требуемое нер-во.►

Утв 3(тождество параллелогр-ма): Пусть Н-предгильбертово простр-во, справедливо тожд-во: )◄должен знать►