shpory po fany
.docx
Пусть
(Х,
,
)
– простр-во с мерой, т.е. на -алгебре
подмнож-ве т. в Х определяется
-аддитивная
мера. Обозначим через
-множ-во
измеримых на множ-ве Х ф-ций, для которых
модуль в р интегрир. на Х,т.е.
,
=f
п.в. на Х},
.
.
Положим p(
)=
.
Проверим аксиомы метрики:
1) p(
)=0
=> f=g
п.в. Х
.
В дальнейшем крышечку писать не будем
, но из написанного будет ясно о классе
ф-ций.
2)очевидно; 3)аксиома
(3) док-ся с помощью интегрир-ия нер-ва
Минковского: если g,f
,
1
,
то f+g
и
.
Который док-ся с помощью интегрир. нер-ва
Гельдера: Если p,q
,
f
и q
,
то fg
и
.
Тогда нер-во треугольника для p
сразу следует из интегрального нер-ва
Минковского как и в простр-ве
.
№15
Опр:
Послед-ть {
}
– метрич. простр-во) наз. сходящ-ся, если
a
=0:
.
Опр:
{
}
в метрич. простр-ве Х наз. фундамен-ой(послед.
Кантера), если
и m
или
Утв: Всякая сходящаяся послед-ть в метрич. простр-ве Х является фундамен-ой.
◄
►
Открытым(замкнутым)
шаром обознач.
B(a,r)(B[a;r])
с центром в т.А радиуса r
в метрич. простр-ве (X,p)
наз. B(a,r)={x
|
<r}
и
B[a,r]={x
|
r}
Пример:
X=[0;+
],
=|x-y|,
B[1,3]=[0;4],
B[0;3.5]=[0;3.5]⊂[0,4]
Опр:
Множ-во А⊂Х(Х-метрич.
простр-во) наз открытым,
если
.
Утв: Открытый шар является открытым множ-ом.
Опр: Множ-во А⊂Х наз. замкнутым, если Х/А-открыто.
Утв: Следующие утв. Эквивалентны:
1)А-замкнуто(т.е. Х/А – открыто)
2)
3)
4)
- замыкание множ-ва А, т.е А – множ-во
всех точек прикосновений для А, b
является точкой приложения для А, если
B(b,r)
(r>0)
B(b,r)
).
№16
Опр:
Отображ. f:
(X,
)
(У,
)
наз. непрер. в т.
,
если
))<
Теорема 1:
f-непрер.
в т.
когда
{
},
:
=
.
Следствие:
f-непрер-на
в т.
{
}:
,
◄=> из теоремы 1
<= Пусть {
}:
.
Тогда
.
Рассм. послед-ть {
}:
=>
,
тогда
,
тогда и
►
№17
Опр: Метрическое простр-во Х наз. полным, если любая фундаментальная послед-ть в Х сходится.
Примеры:
1)R=X
– полное(критерий Коши); 2)
– полное; 3)ℂ
- полное; 4)Q=X,
,
=
.
Она фундаментальна(сходится в R)
– неполное
Теорема:
- полное простр-во.
◄Пусть
– фундаментальная послед-ть в
,
т.е.
(1).Нам нужно док-ть, что
,т.е.
.
Утв 1: Последнее
нер-во равносильно условию
|
(2). Зафиксируем t
из отрезка [a,b],
тогда числовая после-ть {
}-
фундаментальна и в силу полноты R
сход-ся, т.е.
.
Докажем, что получ-ая ф-ция и будет
пределом {
в
.
Переходя к пределу в (2) при фиксир-ом t
и n,
получим справедливость нерав-ва |
<
,
.
Полагая
,
получим, что
|
<
.
Полученное нер-во означает также, что
{
}
равномерно сход-ся на [a,b],
т.к. ф-ции непрерывные.
И в силу свой-в
равномерно сходящейся после-ти её предел
является непрер-ой ф-цией.►
№18
Теорема:
- полное простр-во.
◄Пусть {
}
– фундаментальная после-ть в
,
т.е.
<
=>
<
(3).
В силу нер-ва
<
фиксиро-го i
{
}
будет фунд-ой => сходящ. =>
,
x=
,
если
<
.
Фиксируя в (3) e,i,n
и переходя к пределу при m
получим, что сумма
<
.
Переходя к пределу при e
,
получим
<
.
Осталось показать, что х
,
+
<
,
т.к.
=> x
►
Теорема:
(X)
– полное простр-во.
№19
Опр:
Отображ. f
из метрич. простр-ва Х(f:X
X)
наз. сжимающим,
если
Утв: Любое сжимающее отображение непрерывно(т.е. непрер-но на Х)
◄
из последнего нер-ва
и т.
следует непрер-ть.►
Опр:
Пусть f:X
X
наз. неподвижной
точкой отображ. f,
если f(
.
Теорема(принцип
сжимающих отображений):
Пусть Х-полное метрич. простр-во. Всякое
сжимающее отображ. f:X
X
имеет и единственную неподвижную точку.
◄ f:X
X
.
Положим
докажем, что {
}
является фундам-ной. Введем обознач.
,
тогда
(где
n>m)
+…+
при m
– фунд-ть доказана. Послед-ть {
}
фунд-на в силу полноты мн-ва Х. Докажем,
что х-неподвижная точка отображ. f.
В силу опред-ия
,
переходя к пределу в послед-нем рав-ве
и пользуясь непрер-тью х, т.е. х –
неподвижная точка отображ. f.
Осталось док-ть, что х – единств-ая
неподвижная точка. Пусть x,y
– две неподвижные точки x=f(x)
и y=f(y),
.
Последнее нер-во противоречиво, если
>0.►
Следствие:
В условиях теоремы справедливо нер-во
.
◄Из док-ва теоремы
следует, что
.
Док-ем, что отображ. F:
X
по фор-ле F(x)=
,
a
– фиксир., |
|
,
-
,
.
Полагая
получим непрер-ть =>
=
►
№20
Урав-ие вида
x(t)=
-непрер-ая
на [a,b]x[a,b],
- непрер-ая на [a,b],
K
и
– известные ф-ции, х- неизвестная ф-ция.
наз. урав-ем
Фритгольма 2 рода.
Пусть F(x(t))=
,
F:
,
Пусть
M=
=M
,
отсюда видно, что отображение F
будет сжимающим при условии, что
.
№21
Опр: Метрич. прост-во (Х,
)
наз. компактным, если у всякой
послед-ти
сходящ. подпослед-ть.
Утв: Всякое компактное простр-во является полным.
◄{
}
– фундам-я, то
{
}-сходящ.
к х,
(
из фунд-ти, а
из
)►
Замечание: Обратное неверно.
Опр:
Метрич. простр-во (Х,
)
наз. предкомпактным, если у любой
послед-ти
фундам-ая подпослед-ть.
Теорема: Для того, чтобы метрич. простр-во было компактным чтобы оно было предкомпактным и полным.
Опр: Множ-во М⊂Х
наз. компактным(предкомпактным),
если (М,
)
– комп-но(предкомп-но), как метрич.
простр-во.
Опр: Мн-во М в метрич. простр-ве наз. огранич., если оно содерж. в некотором шаре.
Теорема(Арцела-Асколи):
M⊂
предкомп-но
1)M
– ограничено в
,
т.е.
;
2)M
– равностепенно-непрер-но, т.е.
Теорема(критерий
предком-ти в
):
M⊂
предком-но
когда: 1)M
– огранич., т.е.
,
;
2)
.
№22
Опр:
Пусть Х – метрич. простр-во M⊂X.
A⊂X
наз.
-сетью
для множ-ва М, если
.
Пример:
X=
,
A={(m,n)|m,n
Z},
A=
сеть для М.
Утв:
Если множ-во огранич. в
,
то при
для него
конечная
.
Опр:
Мн-во в метрич. простр-ве будем наз.
вполне огранич., если для него
конечная
-сеть
для
.
Утв: Если мн-во вполне ограничено, то оно ограничено.
◄Положим
=1,
тогда
- 1-сеть для огранич. М. Возьмем
=
,
(
-расстояние
от а до x<1)
=>M⊂B[
,
►
Пример:
Рассм. простр-во
и мн-во точек {
},
где
....................
– это мн-во огранич.
Все точки мн-ва М={
}⊂B[0;1].
Предположим М вполне огранич., т.е. для
найдется конечная
,
тогда
два элемента из М:
и
:
,
тогда
при
противоречие, => наше предположение
неверно.
Теорема(Критерий Хаусдорфа): Для того, чтобы мн-во было предкомпак-ым чтобы оно было огранич.
◄=> Пусть
М-предкомпактно,
(т.к.
в противном случае {
}
будет конечной
для М),
(т.к. в противном случае {
}
-
,
либо получ. послед-ть {
}:
(n
.
Но т.к. m
предкомпактно, то из {
должна извлечься фунд-ая подпослед-ть,
чего быть не может
(e
►
№23
Опр:
Непустое мн-во Х
наз. линейным(векторным) простран-ом
над полем К(K=R
или ℂ),
если на этом мн-ве определены 2 операции:
сложение и умножение слева на элементы
из поля К(«+» и «*») так, что выполн.
следующ. условия:
I. 1)x+(y+z)=(x+y)+z;
2)x+y=y+x;
3)
4)
(X – абелева группа по сложению).
II. 1)
2)1
,
3)
,
4)
Примеры лин-ых простр-в:
1)X=R, обычные операции сложения, умножения действит-ых чисел.
◄аксиомы I и II следуют из свой-в действит-ых чисел K=R►
2)X= ℂ, ◄аксиомы I и II следуют из комплексных чисел, K=R(или ℂ )►
3)X=
,
(x+y)(t)=x(t)+y(t),
t
и (λx)(t)=λx(t),
t
◄аксиомы для случая x+y=y+x следуют из опред-ия и свой-в действит-ых чисел►
4)X=
,
x=(
)
y=(
)
x+y=
,
λx=
)
◄аксиомы следуют
из свой-в действит-ых чисел и опред-ий
операций над числами. То, что сумма 2-ух
элементов из
будет
следует из нер-ва Минковского и см.
рассуждение при док-ве.►
5)X=
(X),
и λ
◄аксиомы следуют из опред-ия этих опреаций и свой-в действит-ых чисел►
№24
Опр:
Линейное простр-во Х над полем К наз.
нормированным простр-ом, если на Х
определено отображ. ||
||:X
,
так, что:
1)||x||=0x=0
2)||
||=|
|||x||,
3)||x+y||
||x||+||y||(нер-во
треуголь-ка)
Примеры:
1)X=R,||x||=|x|
2)X=
),
||x||=
3)
,
||x||=
4)
,
||x||=
5)
,
||x||=
6)
– небанахово, т.к. оно не полно.
Свой-ва 1)и 2) очевидны. Нер-во треугольника для примера 1) – очевидно, для 2),4),5) оно превращается в соответствующее нер-во Минковского, а для 3) легко получается из опред-ия max=sup.
Утв:
Если Х-нормированное простр-во, то Х –
метрич. простр-во с метрикой
=||x-y||
◄1)
||x-y||=0x=y
2)
=||x-y||=||(-1)(y-x)||=||y-x||
3)
=||x-z||=|x-y+y-z||
||x-y||+||y-z||=
.
Нормир-ое простр-во явля-ся метрич.►
Т.о. все понятия в метрич-их простр-ах имеют смысл в нормир-ых простр-ах.
Опр:
Нормированное простр-во полное,
относительно расстояния
=||x-y||
наз. Банаховым
простр-ом.
Опр:
Две нормы
и
наз. эквивалентными,
если
,
,
Замечание: Если две нормы эквивалентны, то в соответствующих нормир-ых простр-ах сходящиеся послед-ти одни и те же, компактные мн-ва одни и те же.
№25
Опр:
Пусть
– линейные простр-ва над одним и тем же
полем К. Отображ А:
наз. линейным
оператором,
если:
1)
;
2)
.
Примеры:
1)Ax=x,
X=
◄условия 1) и 2) опр-ия очевидны►
2)Ax=0,x
=
◄условия 1) и 2) опр-ия очевидны►
3)Рассм. f:
,
f(x)=
,
где x=(
,
f(x+y)=
+
=f(x)+f(y)
и f(
Замечание:
Линейная ф-ция y=kx+b
не является линейным оператором, если
b
.
Опр:
Пусть
– нормиров-ые простр-ва. Линейный
оператор А:
наз. огранич-ым, если
.
– норма в
и
– норма в
.
Примеры:
1)
– нормир., Ax=x
||Ax||=||x||,
C=1
A:
,
(Ax)(t)=(
(A(x+y))(t)=(
,
аналогично проверяется 2-ое условие
линейности.
||Ax||=
||x||,
C=3.