shpory po fany

№1 Системы множеств ( кольцо, полукольцо, алгебра, -алгебра и т.д.) Примеры.

Пусть Х- произвольное мн-во (𝒫(х)-мн-во всех подмн-в мн-ва Х) или

Опр. Система наз-ся кольцом ,если 1) ; 2)

Примеры: 1) 2)

Опр.Симметрической разностью мн-в А и В обознач. наз-ся мн-во

Утв.1(микро)Если К-кольцо, то тогда ◄►

Опр. A=B, если

Утв.2 Если К-кольцо, то ◄►

Опр. Сист. наз-ся полукольцом, если 1) ; 2) ; 3)

Пример: Любое кольцо, явл. полукольцом. Это следует из утв.1,2 и опр. кольца.

Опр. Пусть А(письм)⊂𝒫(x). Кольцо К содержащее А(письм)наименьшее из всех колец сод. А(письм)наз-ся кольцом, порожд. К (А)(письм),т.е.К(А)⊂К, где К-произвольное кольцо содержащее К(А)(письм)-кольцо.

Теор1 К(А)(письм) и единств. ◄ К(А)(письм)=-кольцо, (А)(письм) ►

Теор2Пусть S-полукольцо, тогда

Опр Кольцо K наз-ся -кольцом, если 1) К-кольцо 2)

Опр Сист. К наз-ся -кольцом, если 1) К-кольцо 2)

Опр Сист. наз-ся алгеброй, если 1) R-кольцо 2) X

Опр наз-ся -алгеброй , если 1) -кольцо 2) R-алгебра

Опр наз-ся -алгеброй , если 1) -кольцо 2) R-алгебра

Утв ◄Пусть R. В силу опр. дост. док-ть, что R--кольцо. . Y=. , т.к.R- -кольцо ►

Прим: -сист. интервалов и их счётных объединений. Наименьшее из -колец содержащих сист. наз. -алгеброй борелевских мн-в. [a,b)=

№2 Определение и свойства меры ( доказать любые 3 свойства меры ).

Опр Пусть S-полукольцо. (не равная тождественно +,т.е. ) назовём мерой на S, если она аддитивна -наз-ся мерой мн-ва А.

Опр Мера на S наз-ся -аддитивной(или счётно-аддит.), если

Опр Пусть -мера на полукольце S. Мера опред-ая на полукольце наз-ся продолжением меры , если : 1) S⊂ 2)

Теор Пусть -мера на полукольце S, тогда и единст. Продолжение на К(S)◄►

Св-ва меры: Пусть -мера на полукольце S, а -её продолжение на K(S).

1) ◄B=A; ►

Пусть . Тогда . ◄; Переходя к пределу при получим требуемое нер-во►

3) Пусть . Тогда ◄►

4)-аддитивна ⇔ ()

5) Пусть -аддит. Мера на полукольце S и , причём Тогда

№3 Определение и свойства внешней меры

Опр Пусть S-полукольцо и m--аддитивная мера на S(S).

Внешней мерой мн-ва A⊂X наз-ся точная нижняя грань .

Если А можно покрыть счётным объединением полукольца и хотя бы одна из сумм -конечна. В противном случае, полагают внешнюю меру мн-ва

Св-ва меры:

1)

2) (счётная полуаддит-ть)

3) Если A⊂B, , то ◄А⊂В⊂ Покрытие мн-ва А не меньше, чем покрытие мн-ва В, поэтому из опр. внешней меры мн-ва А, точная нижняя грань берется возможно по более широкому числовому мн-ву►

4) ◄Пусть А⊂. Т.к. m -аддитивна, то m(A)►

№4 Лебеговское продолжение меры. Измеримые множества.

Опр Пусть S-полукольцо и m--аддитивная мера на S(S).

Внешней мерой мн-ва A⊂X наз-ся точная нижняя грань .

Если А можно покрыть счётным объединением полукольца и хотя бы одна из сумм -конечна. В противном случае, полагают внешнюю меру мн-ва

Опр Мн-во наз-ся измеримым по Лебегу, если . Обозначим мн-во всех измеримых мн-в по Лебегу через -мн-во всех измеримых по Лебегу мн-в. -Лебеговское продолжение m.)

Теор(важная) 1) M(готич)-алгебра 2) -аддит. мера на M(готич) 3) -продолжение меры m на M(готич). Из пункта 3) следует, что S⊂ M(готич)

№5 Мера Лебега на прямой.

Опр Пусть S-полукольцо. (не равная тождественно +,т.е. ) назовём мерой на S, если она аддитивна -наз-ся мерой мн-ва А.

Опр Мера на S наз-ся -аддитивной(или счётно-аддит.), если

Прим(важный): Пусть S={}. Положим .Покажем, что ф-ла (1) задаёт меру на S. 1) 2) Пусть . Очевидно, что можно считать, что полуинт-лы

. Итак, аддит-ть доказана. Меру, определяемую ф-ой (1) наз-ют мерой Лебега на прямой.

№6.Измеримые функции и их свойства.

Теор Пусть ()-пр-во с мерой, где X-произвольное мн-во. -алгебра подмн-ва X -полная -аддитивная мера на

Опр Действительнозначную ф-ию наз-ют измеримой на мн-ве , если E-измеримо (т.е. ) и {}-измеримо

Утв Композиция , т.е. измерима, если -непр., а -измерима

Теор1 Если измеримы на Е, то измеримы на Е и измерима на Е. ◄???►

Теор2 Пусть {} . Тогда f измерима на Е ◄???►

Опр Мера -мера на полукольце S наз-ся полной мерой, если из того, что

Утв Лебеговское продолжение меры- полная мера

Опр Пусть Е-измеримое мн-во. Будем говорить, что некот. св-во Р(х),x выполняется почти всюду на Е, если мера мн-ва 0

Опр Ф-ии равные почти всюду(п.в.) на Е наз-ся эквивалентными на Е

Утв Эквивалентные на Е ф-ии измеримы или неизмеримы одновременно. Посл-ть сх-ся п.в. на Е к f, если

Утв Если посл-ть измеримых на Е ф-ий сх-ся п.в. на Е к f, то f-измерима

Теор.(Егорова): Если п.в. на Е (), то 1) 2)(на )

№7. Интеграл Лебега от неотрицательной функции и его свойства (доказать любые 3 свойства).

Опр f измерима на E и неотриц. (). Число , если указанное мн-во неогр. Или один из интегралов наз-ся интегралом от ф-ии f по мн-ву Е

Св-ва:

1) Если f=g п.в. на Е, f,g-измеримы на Е и неотриц-ны, тогда

◄Это свой-во сначала док-ся простых ф-ций. Мн-ва, которые стоят в опр. интеграла для f и g одинаковые, поэтому sup у них тоже одинаковые►

2) Если f и g –измеримы и неотриц. На Е, причём , то ◄Следует из опр►

3) Если f измерима и неотриц. на Е и k>0, то

4) Если f,g –измеримы на Е и неотриц, то

5) Отображ. -аддит-ая мера на , т.е. если

6)(Нер-во Чебышева) Пусть f –неотриц., измерима на Е и . Тогда ◄Рассм. хар-ую ф-цию мн-ва , тогда f на Е. По свой-ву 2) ►

7) Пусть f0 на Е и измерима на Е. Тогда (п.в. на Е)

№8. Интеграл Лебега от произвольной измеримой функции и его свойства (доказать любые 3 из них).

Пусть f-измерима на Е. Рассм. ф-ии . Очевидно

Опр Ф-ия f наз-ся интегрируемой на Е, если f измерима на Е и . Очевидно, если f интегрируема на Е, то

Опр Если f-интегр-ема на Е, то число наз-ся интегралом Лебега от f по мн-ву Е и обозн.

Св-ва:

1) Если ф-ии f и g-интегрируемы на Е и равны п.в. на Е, то интегралы их равны на Е.

2) Если на Е, то ◄Очевидно, .Тогда ►

3) Если f и g интегрируемы на Е, то

4) Если f инт-ема на Е и

5)

6) . Обратное неверно :

№9. Предельный переход под знаком интеграла Лебега (доказать одну из теорем о предельном переходе).

Теор(Лебега о мажорированной сх-ти): Пусть {} посл-ть интегр-емых на Е ф-ий: п.в. на Е и ф-ия -интегр-емая на Е : || п.в. на Е. Тогда f интегр-ема на Е и

Теор(Бетто-Леви): ): Пусть {}-посл-ть интегр. на Е ф-ий и причём Тогда п.в. на Е

№10. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана.

Теор.(сравн. инт. Лебега с инт. Римана): Если ф-ия f интегрируема по Риману на [a;b], то f-

Теор.(связь несобст. инт-ла Римана и инт. Лебега): Для того, чтобы сущ-ал интеграл Лебега от ф-ии интегр-емой по Риману в несобственном смысле ⇔ чтобы несобст-ый инт-ал Римана абсол. сх-лся, при этом инт. Римана и Лебега совпадали.

№11

Утв 1: Пусть p и q, тогда нер-во: ab (1), a0 и b0

◄Пусть , 0<x<+, 0, <1.

=> x=1 – т. максимума => или ,

x=(при a и(или) b = 0 нер-во очевидно), b +b, , >0.

<, , если a,►

№12

Утв 2(нер-во Гельдера): Пусть p,q: , . Тогда (т.е. =, b=) выполн. нер-во: (2)

◄Шаг1: Докажем, что нер-во (2) верно при условии, что =1 (3).

=. При условии (3) нер-во (2) доказано. Шаг2: Заметим, что если нер-во (2) верно для a и b, то оно врено и для = и b=. Пусть теперь a и и такие, что усл. (3) не выпол-ся. Положим ,

, тогда для b выполнено усл. (3) и => для них справедливо рав-во (2) и оно примит вид: ►

№13

Утв 3(нер-во Минковского): Пусть , p. Тогда вып. нер-во (4)

◄ = .

(.

(4*)

Из (4*) и следует требуемое нер-во, если разделить обе части на . При р=1 мы не могли применить нер-во Гельдера, но в этом случае нер-во Минковского следует из нер-ва для модуля. ►

Следствие(нер-ва Минковского): При условиях утв. 3 справедливо нер-во: (5).

Следствие получается из нер-ва (4) переходя к пределу при n. Обоснование этого предельного перехода следует из свой-в пределов, опр. суммы ряда и непрерывности.

№14

Опр: Пусть Х-произвольно множ-во, отображение наз. метрикой на Х, если соответствует действительное число : выполнены следующ. аксиомы метрики:

1) =0  x=y; 2)=; 3) – нер-во треуг-ка.

Непустое мн-во Х с заданной на нем метрикой наз. метрич. простран-ом (Х,) или Х.

Примеры:

1)Х=R, ; (аксиомы метрики очевидны)

2)Х=, =|x-y|;

Через будем обознач. простран-во, непрерывных на [a;b] действительно значных или компактно значных ф-ций, т.е. . Положим Х=, |(сущ-ие следует из непрерывности ф-ции и т. Вейерштрасса). Проверим аксиомы метрики:

1)=0 |=0 |x(t)-y(t)|=0 x(t)=y(t) x=y.

|==

3)==.

Значит - метрич. простр-во. В дальнейшем если не указано иное, будем под понимать метрич. простр-во с рассмот-ой выше метрикой, которую также наз. равномерной метрикой.

Обозначим через - мн-во всех последов-ей действит-ых или комплексных чисел, для кот-ых ряд, составляется из равных степеней абсолютных величин, сходится, т.е.

и <+ (p1)

X= Пусть x,. Проверим аксиомы метрики: 1)=0 => ; 2)очевидно; 3)Положим в нер-ве Минковского и , тогданер-во треугольника сразу следует из нер-ва Минковского. Т.о. пара ( образуют метрич. простр-во, кот-ое будем наз.