С b a b a в-ва опред. Интеграла.

1. ∫ α * f(x)dx = α * ∫ f(x)dx

b

a

b

a

b

a

b

a

2. ∫ [ f₁(x) ± f₂(x) ± … ± f_n(x) ] dx = ∫ f₁(x)dx ± ∫ f₂(x)dx ± … ± ∫ f_n(x)dx

о

b

a

b

a

пределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа слагаемых равен такой же сумме интегралов слогаемых.

3. если на отрезке [a,b], (a≤b) φ(x) ≥ f(x), то ∫ φ(x)dx ≥ ∫ f(x)dx

4

b

a

. Если m и M соответственно наим. И наиб. Значения ф-и на отрезке [a;b] (аb), то

m(b-a)  ∫ f(x)dx  M(b-a)

5. Теорема о среднем. Если f(x) непрерывна на отрезке, то на этом отрезке найд. такая точка х=с, что быдет выполняться равенство:

b

a

∫ f(x)dx = f(c) - (b-a)

Эта ф-ла не может быть использвана для вычисления инт-ла из-за неопред. точки "с".

6. Для любых 3-х чисел a,b,c справедливо рав-в

b

a

b

a

b

c

∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx

7. Имеет место след. неравенство

b

a

b

a

│∫ f(x)dx│ ≤ ∫│f(x)│dx

a

a

b

a

a

b

Замечание: ∫ f(x)dx = 0, ∫ f(x)dx = - ∫ f(x)dx

8

Теорема 1.

Производная от опред. интеграла по перем. верхнему пределу равна подынт. ф-и:

x

a

∫ f(t)dt = Φ'(x), что Ф'(x) = f(x)

Док-во.

Дадим аргументу х приращение Х, тогда

x+∆x

a

x

a

x+∆x

x

x+∆x

x

Ф(x+ x) = ∫ f(t)dt = ∫ f(t)dt + ∫ f(t)dt. ΔФ(x) = ∫ f(t)dt

Применим к посл. интегралу теорему о среднем (св-во 5). Получим:

x+∆x

x

∫ f(t)dt = f(c) * (x+Δx-x) = f(x) * Δx, где точка, с[x, x+Δx]

ΔФ(x)/Δ= (f(c)Δx) / Δx = f(c), но при Δx→0, c→x, т.е. f(c)-f(x)

Н

∆x_i→0

∆x_i→0

айдем lim ∆Ф/∆x, Ф'(x) = lim f(c) = f(x), т.о Ф'(x) = f(x), что и требовалось доказать.

Теорема 2. (Ньютона – Лейбница).

Если F(x) – первообразная для f(x), x[a;b], то

b

a

b

a

b

a

∫ f(x)dx = F(b) - F(a), ∫ f(x)dx = F(x) │ = F(b) - F(a)

Док-во.

x

a

F(x) – некот. первообразная для f(x)

Ф(х) = ∫ f(t)dt также первообразная.

x

a

Ф'(x) = f(x), но две любые первообразные отличаются на постоянные согласные т.е. ∫ f(t)dt = F(x) + C₁

П

x

a

оложим х=а, тогда С₁ = F(a)

Cлед-но ∫ f(x)dx = F(x) - F(a)

b

a

Положим x=b, тогда ∫ f(t)dt = F(b) - F(a)

Что и требовалось доказать

Ф-ла служит для вычисления

Замена переменной или способ подстановки.

Пусть мы не можем сразу найти первообр-ю для подыинт. выр-я. Сделаем замену перем. х=t по ф-ле х=(t), где (t) – непрер. и дифф. ф-я на отрезке [;] причем ()=a, (β)=b . Тогда имеет место след. рав-во:

b

a

b

a

∫ f(x)dx = ∫ f[φ(t)] * φ'(t) dt, здесь φ'(t) dt = dx

Док-во.

Пусть F(x) – первообр. для ф-и f(x). Тогда можно записать:

∫ f(x)dx = F(x) + C

∫ f[φ(t)] * φ'(t) dt = F[φ(t)] + C

b

a

b

a

β

α

β

α

а также

∫ f(x)dx =F(x) │= F(b)-F(a), ∫ f[φ(t)]*φ'(t)dt =F[φ(t)] │= F[(β)] - F[()]=F(b) - F(a)

Пр. часть 2-х посл. рав-в равны, значит, равны и левые. Что и требовалось доказать. Особенностью этой ф-лы явл то, что одновременно с заменой подыинт. выр-я заменяется соответ. образом и пределы инт-я.

Интегрирование по частям.

Рассмотрим рав-во. (u*v)' = u'v + v'u , где v,u - непрерывные фун-ии.

Проинтегрируем по х от a до b:

b

a

b

a

b

a

∫ (u*v)dx = ∫ u'v dx + ∫ uv' dx

b

a

b

a

b

a

т.к. ∫ (u*v)'dx = uv + C , то ∫ (u*v)'dx = uv │ , то получим

b

a

b

a

b

a

∫ u dv = uv│ - ∫ v du , здесь du = u' dx

9

Вычисление площади плоской фигуры.

Пусть на отрезке [a;b] ф-я y = f(x) неотрицательна.

Тогда S_{крив. трап.}, огран. этой кривой, осью

О

b

a

Х и прямыми х=а, х=b.

Q = ∫ f(x)dx

b

a

b

a

Если f(x)≤0, то -Q = ∫ f(x)dx , Q = - ∫ f(x)dx

Если ф-я - конечное число раз меняет знак на отр. [a;b], то инт-л по всему отр. разбиваем на сумму инт-лов по частичн. отрезкам. Он будет больше там, где

f(x) >0, и меньше там, где f(x)<0.

Для того, чтобы получить сумму площадей, надо найти или вычислить интеграл

b

a

Q = ∫ │f(x)│dx

Е

b

a

сли же требуется найти фигуры, ограничен. кривыми y = f₁(x) и y=f₂(x), причем f₁(x)  f₂(x) на отрезке [a;b], то

Q = ∫ [ f₂(x) - f₁(x) ]dx

Замечание.

П

a

-a

a

0

a

0

ри вычислении площадей следует польз-ся след. св-м интеграла. Интеграл от четной ф-и по симм. пределам равен

двум интегралам. ∫ f(x)dx =2 ∫ f(x)dx, Q=2 ∫ xdx

Пусть теперь кривая, огран. площадь,

задана параметрически, т.е. в виде y = ψ(t), где α ≤ t ≤ β

a = φ(α), b = φ(β) x = φ(t)

Пусть это ур-е опред. некотр. ф-ю. y=f(x).

Ч

β

α

b

a

тобы опред. эту кривую, надо искл. t.

С

b

a

делаем замену перем. Q = ∫ y dx Q = ∫ ψ(t) * ψ'(t) dt