Расстояние от точки до прямой в пространстве

Расстояние d от точки M₁(x₁,у₁,z₁) до данной прямой , проходящей через точку M₀(х₀,у₀,z₀) с направляющим вектором = (m, n, p) определяется так .

Уравнение плоскости, проходящей через две заданные прямые

Пусть плоскость α проходят через прямые l₁ и l₂, заданные соответственно уравнениями

, (2)

Обозначим М₂(x₂,y₂,z₂), =(m₁,n₁,р₁), =(m₂,n₂,p₂) и М(х,у,z) произвольная точка плоскости α

Тогда

- уравнение плоскости, проходящей через две прямые.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Пусть прямые l₁ и l₂, заданные уравнениями вида (2), являются скрещивающимися. Тогда расстоянием d между ними называется длина перпендикуляра, проведенного из одно прямой на другую. Заметим, что искомое расстояние равно отрезку перпендикуляра, закаченного между плоскостями α₁ и α₂, где плоскости α₁ и α₂ одновременно параллельны векторам и , и проходят соответственно через прямые l₁ и l₂

Тогда

Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть прямая l и плоскость α заданы соответственно уравнениями

, α: Ax + By + Cz + D = 0.

1 ) прямая l лежит в плоскости α, если

Am + Bn + Ср = 0,

Аx₀ + Ву₀ + Cz₀ + D = 0.

2) прямая l параллельна плоскости α, если

Am + Bn + Ср = О,

Аx₀ + Ву₀ + Cz₀ + D ≠ 0.

3) прямая l пересекает плоскость α если

Am + Вn + Ср 0.

Угол между прямой и плоскостью

Углом между прямой l и плоскостью α называется угол φ, образованный прямой l и ее проекцией l₁ на плоскость α

Тогда и

.