![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Основное содержание лекционного курса
- •Линейные операции над векторами.
- •Проекции.
- •Скалярное произведение векторов.
- •Векторное произведение двух векторов.
- •Свойства векторного произведения.
- •Смешанное произведение векторов.
- •Свойства смешанного произведения.
- •Линейная зависимость векторов.
- •Координаты на прямой.
- •Координаты на плоскости.
- •Координаты в пространстве.
- •Скалярное произведение векторов в координатной форме.
- •Определители второго и третьего порядков
- •Векторное произведение векторов в координатной форме.
- •Смешанное произведение векторов в координатной форме.
- •Полярные координаты.
- •Прямоугольные координаты на плоскости.
- •Глава 2. Прямая на плоскости. Прямая на плоскости
- •Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.
- •Параметрическое и каноническое уравнения прямой Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
- •Пучок прямых
- •Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •Угол между двумя прямыми
- •Расстояние от точки до прямой
- •III плоскость Общее уравнение плоскости
- •Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •Угол между двумя плоскостями
- •IV прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Уравнение прямой в пространстве
- •Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Расстояние от точки до прямой в пространстве
Пучок прямых
Пучком прямых называется совокупность всех прямых на плоскости, проходящих через некоторую точку, называемую центром пучка.
Для задания уравнения пучка достаточно знать какие-либо две прямые l1 и l2 , проходящие через центр пучка.
Пусть в аффинной системе координат прямые l1 и l2 заданы уравнениями
l1: A1x + B1y + C1 = 0,
l2: A2x + B2y + C2 = 0.
Уравнение:
A1x + B1y + С + λ (A2х + В2y + C) = 0
- уравнение пучка прямых, определяемого уравнениями l1 и l2.
В дальнейшем, под системой координат будем понимать прямоугольную систему координат.
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
Пусть
заданы прямые l1
и l2.
своими общими уравненими;
= (А1,B1),
=
(А2,В2)
– нормальные векторы этих прямых; k1
=
tgα1,
k2
=
tgα2
– угловые коэффициенты;
= (m1,n1),
(m2,n2)
– направляющие векторы. Тогда, прямые
l1
и l2
параллельны, в том и только том случае,
если выполняется одно из следующих
условий:
либо
,
либоk1=k2,
либо
.
Пусть
теперь прямые l1
и l2
перпендикулярны. Тогда, очевидно,
,
то есть А1А2
+
В1В2
=
0.
Если прямые l1 и l2 заданы соответственно уравнениями
l1: у=k1x + b1,
l2: у=k2x + b2,
то
tgα2
=
tg(90º+α) =.
Отсюда следует, что
Наконец,
если
и
направляющие векторы прямых, то
,
то есть
m1m2 + n1n2 = 0
Последнее соотношения выражают необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей.
Угол между двумя прямыми
Под
углом φ между двумя прямыми l1
и l2
будем понимать наименьший угол, на
который надо повернуть одну прямую,
чтобы она стала параллельной другой
прямой или совпала с ней, то есть 0
φ
Пусть прямые заданы общими уравнениями. Очевидно, что
cosφ=
Пусть теперь прямые l1 и l2 задана уравнениями с угловыми коэффициентами k1 в k2 соответственно. Тогда
Наконец,
если
и
-
направляющие вектора прямых, то
Расстояние от точки до прямой
Пусть d - расстояние от точки М0(x0,у0) до прямой l, заданной уравнением Ax + By + С=0.
Тогда
.
III плоскость Общее уравнение плоскости
Пусть
в прямоугольной системе координат OXYZ
задана плоскость α, проходящая через
точку М0(х0,у0,z0).
Возьмем произвольную точку М(х,у,z)α
и обозначим
(А,В,C)
– нормальный вектор плоскости α.
Очевидно,
что
,
то есть (х-х0)
+ В(у-у0)
+ C(z-z0)
= 0
Раскроем скобки и обозначим D = -Аx0 - Ву0 - Cz0. Получим
Ax + By + Сz + D = 0 ()
-уравнение
плоскости в общем виде
или общее
уравнение плоскости.
Теорема 3.1 Линейное уравнение () (A2+B2+C2 ≠ 0) является уравнением плоскости и обратно, любое уравнение плоскости является линейным.
Пусть
1) D = 0, тогда плоскость проходит через начало координат.
2) А = 0, тогда плоскость параллельна оси ОХ
3) А = 0, В = 0, тогда плоскость параллельна плоскости OXY.
Пусть в уравнении все коэффициенты отличны от нуля.
Тогда
- уравнение плоскости в отрезках. Числа |а|, |b|, |с| указывают на величины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.