![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Основное содержание лекционного курса
- •Линейные операции над векторами.
- •Проекции.
- •Скалярное произведение векторов.
- •Векторное произведение двух векторов.
- •Свойства векторного произведения.
- •Смешанное произведение векторов.
- •Свойства смешанного произведения.
- •Линейная зависимость векторов.
- •Координаты на прямой.
- •Координаты на плоскости.
- •Координаты в пространстве.
- •Скалярное произведение векторов в координатной форме.
- •Определители второго и третьего порядков
- •Векторное произведение векторов в координатной форме.
- •Смешанное произведение векторов в координатной форме.
- •Полярные координаты.
- •Прямоугольные координаты на плоскости.
- •Глава 2. Прямая на плоскости. Прямая на плоскости
- •Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.
- •Параметрическое и каноническое уравнения прямой Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
- •Пучок прямых
- •Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •Угол между двумя прямыми
- •Расстояние от точки до прямой
- •III плоскость Общее уравнение плоскости
- •Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •Угол между двумя плоскостями
- •IV прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Уравнение прямой в пространстве
- •Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Расстояние от точки до прямой в пространстве
Проекции.
Назовем осью прямую, на которой указано направление, которое будем называть положительным.
Пусть
l
- некоторая ось, α - плоскость, непараллельная
оси l.
Через произвольную точку А пространства
проведем плоскость α'||α
и обозначим точку пересечения плоскости
α' c
осью l
через А1.
Тогда точка А1
называется проекцией
точки
А на
ось l
относительно плоскости
α.
В частности, если αl,
то проекция называется прямоугольной,
или ортогональной.
Пусть
теперь задан вектор
.
Возьмем проекции А1
и В1
точек А и В на ось l
относительно
плоскости α.
Тогда
вектор
называется проекцией
вектора
на
ось l
относительно плоскости
α.
Величиной
проекции
вектора
на осьl
относительно
плоскости α называется число, равное:
а)
||,
если направление вектора
совпадает с направлением оси l;
б)
- ||,
если направление
противоположно направлено оси l.
Обычно
из контекста ясно о проекции относительно
какой плоскости идет речь. Поэтому
величину проекции вектора
на осьl
будем обозначать Прl
,
а для ортогональной проекции использовать
обозначение прl
.
Пусть
α - некоторая плоскость и l
– прямая, такая, что l
не параллельна α. Через произвольную
точку А пространства проведем прямую
l1
|| l
и обозначим точку пересечения прямой
l1
с плоскостью α через А1.
Точка А1
называется проекцией
точки
А на
плоскость
α относительно
прямой
l.
Если
прямая lα,
то проекция называется прямоугольной,
или ортогональной.
Определение. Углом между двумя векторами, или между осями, или между вектором и осью называется наименьший угол α, на который надо повернуть один из векторов или одну из осей до совпадения по направлению с другим вектором или осью.
Из
определения следует, что 0α
π.
Угол между векторами или между осями,
или между вектором и осью будем обозначать
соответственно: (
),
(
),
(
).
Теорема. Проекция вектора на ось обладает следуицики свойствами:
1)
;
2)
3)
.
Скалярное произведение векторов.
Определение.
Скалярным
произведением
векторов
и
называется
число (которое обозначается
),
равное произведению длин этих векторов
на косинус угла между ними, т.е.
.
Из первого пункта предыдущей теоремы сразу следует, что
.
Так
как соs
0 = 1. то
=|
|2.
Следовательно,
,
где
выражение
=
2
называется скалярным квадратом вектора
.
Теорема. Скалярное произведение двух векторов обладает следующими свойствами:
1)
=
(коммутативность);
2)
λ
()
= (λ
)
,
λ
R;
3)(
+
)
=
+
(дистрибутивность).
Из определения следует, что
.
Tеорема (необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов). Два ненулевых вектора взаимно перпендикулярны (ортогональны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Векторное произведение двух векторов.
Определение.
Упорядоченная тройка некомпланарных
векторов
,
,
называетсяправой,
если при приведении их к общему началу
поворот от вектора
к вектору
по кратчайшему пути виден с конца вектора
против часовой стрелки. Если же такой
поворот осуществляется по часовой
стрелке, то вектора
,
,
образуютлевую
тройку векторов.
1) 2)
Определение.
Векторным
произведением двух векторов
и
называется вектор
,
обозначаемый
и
удовлетворяющий следующим условиям:
1)
||=|
||
|sin
(
^,
);
2)
,
;
3)
векторы
,
,
образуют правую тройку векторов.