- •Основное содержание лекционного курса
- •Линейные операции над векторами.
- •Проекции.
- •Скалярное произведение векторов.
- •Векторное произведение двух векторов.
- •Свойства векторного произведения.
- •Смешанное произведение векторов.
- •Свойства смешанного произведения.
- •Линейная зависимость векторов.
- •Координаты на прямой.
- •Координаты на плоскости.
- •Координаты в пространстве.
- •Скалярное произведение векторов в координатной форме.
- •Определители второго и третьего порядков
- •Векторное произведение векторов в координатной форме.
- •Смешанное произведение векторов в координатной форме.
- •Полярные координаты.
- •Прямоугольные координаты на плоскости.
- •Глава 2. Прямая на плоскости. Прямая на плоскости
- •Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.
- •Параметрическое и каноническое уравнения прямой Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
- •Пучок прямых
- •Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •Угол между двумя прямыми
- •Расстояние от точки до прямой
- •III плоскость Общее уравнение плоскости
- •Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •Угол между двумя плоскостями
- •IV прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Уравнение прямой в пространстве
- •Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Расстояние от точки до прямой в пространстве
Свойства векторного произведения.
1) (Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов) векторы иколлинеарны тогда и только тогда, когда=.
2) (геометрический смысл векторного произведения) число || равно площади параллелограмма, построенного на неколлинеарных вектораха и b, приведенных к общему началу.
3)= –, (антикоммутативность).
4) (λ)=λ (),
5) (λ)=λ ().
6) (+)=+(дистрибутивность).
7) (-)=+(дистрибутивность).
Смешанное произведение векторов.
Определение. Смешанным произведением векторов ,,называется число, равное ()и обозначается.
Свойства смешанного произведения.
1) число || равно объему параллелепипеда, построенного на некомпланарных векторах,,, приведенных к общему началу. В этом состоит геометрический смысл смешанного произведения.
2) (необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов). Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.
3) ()=()
4)==.
Линейная зависимость векторов.
Пусть дана система векторов
(1)
и α1, α2,...αn - действительные числа. Тогда векторы вида
называются линeйнoй комбинaциeй вeктоpов cиcтeмы (1).
Определение. Система векторов (1) называется линейно зависимой, если существует такая линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору, т.е.
= (2)
и хотя бы одно из чисел .
Определение. Система (1) называется линейно независимой, если равенство (2) возможно тогда и только тогда, когда все числа αi=0.
Определение. Если какой-либо вектор можно представить в виде линейной комбинации векторов системы (1), т.е.
=,
то говорят, что вектор линейно выражается через векторы системы (1).
Теорема. Для того чтобы векторы системы (1) были линейно зависимы (n>1), необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере один из них линейно выражался через остальные.
Следствие. Если векторы системы (1) линейно независимы, то ни один из них нельзя линейно выразить через остальные. В частности, ни один из них не может быть нулевым.
Теорема. Для того чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.
Следствие. Два вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они неколлинеарны.
Теорема. Любой вектор на плоскости можно разложить по любым двум неколлинеарным векторамиэтой плоскости, т.е. представить в виде:
причем это разложение единственно.
Теорема. Для того чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.
Следствие. Три вектора линейно независимо тогда и только тогда, когда они некомпланарны.
Теорема. Любой вектор можно разложить по трем некомпланарны векторам,и, т.е. представить в виде:
причем это разложение единственно.
Tеорема. Любые четыре вектора линейно зависимы.
Определение. Говорят, что два лежащих в плоскости α линейно независимых вектора и(любые три линейно независимых вектора,и) образуют на этой плоскости (в пространстве)базис, если любой вектор, лежащий в этой плоскости α (любой вектор пространства), может быть представлен в виде линейной комбинации векторов и(,,).
Итак:
1) любая пара лежащих в данной плоскости неколлинеарнах векторов образует базис на этой плоскости;
2) любая тройка некомпланарных векторов образует базис в пространстве.