12.6. Законы распределения непрерывной случайной величины Программные вопросы

1. Законы распределения случайных величин: биномиальное, равномерное, показательное, нормальное.

2. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева.

Решение типового примера

Задача 12.7. Вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону с параметрами: а=375 г, =25. Найти вероятность того, что вес одной пойманной рыбы будет: а) от 300 до 425 г; б) не более 450 г; в) больше 300 г.

Решение. Вероятность того, что случайная величина Х, распределенная по нормальному закону, примет значение из интервала (х₁; х₂) находится по формуле:

где - интегральная функция Лапласа, значения которой табулированы (см. прил. 2);а и σ – параметры распределения.

а) При а=375,  =25, х₁=300, х₂=425 получим:

б) Согласно приведенной выше формуле, имеем:

в)

Ответ: а) 0,9759; б) 0,9987; в) 0,9987.

Задачи контрольной работы

12.7.1. Случайная величина Х равномерно распределена. Плотность вероятности ее f(х)=а при 1 < х < 10 и f (х)=0 при х<1 и х>10. Определить ее математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.

12.7.2. Равномерно распределенная случайная величина Х задана плотностью распределения в интервале, вне этого интервалаf(х)=0. Найдем математическое ожидание и дисперсию величины Х.

12.7.3. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной равномерно в интервале (2; 8).

12.7.4. Случайная величина Х имеет показательное распределение с параметром =6. Написать плотность и функцию распределения этого закона.

12.7.5. Найти параметр  показательного распределения: а) заданного плотностью f(х)=0 при х<0, прих>0; б) заданного функцией распределения F(х)=0 при х<0 и прих>0.

2.7.6. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному плотностью вероятностей прих>0; при х<0 f(х)=0. Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадет в интервал (0,13; 0,7).

12.7.7. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному при х>0 плотностью распределения ; прих<0 функцией f(х)=0. Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадет в интервал (1; 2).

12.7.8. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному функцией распределения прих>0 и F(х)=0 при х<0. Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадет в интервал (2; 5).

12.7.9. Найти математическое ожидание и дисперсию показательного распределения, заданного при х>0: а) плотностью ; б) функцией распределения.

12.7.10. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного распределения, заданного плотностью вероятности прих>0 и при х<0 f(х)=0.

12.7.11. Найти вероятность того, что случайная величина Х, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией равной 4, примет значение: а) в интервале (-1; 5); б) не более 8; в) не менее 5; г) в интервале (-3; 9).

12.7.12. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и дисперсия этой случайной величины соответственно равны 7 и 16. Найти вероятность того, что отклонение величины Х от ее математического ожидания по абсолютной величине не превзойдет двух.

12.7.13. Известно, что вес вылавливаемых в пруду карпов подчиняется нормальному закону с математическим ожиданием, равным 500 г и средним квадратическим отклонением 75 г. Определить вероятность того, что вес наудачу взятого карпа будет: а) заключен в пределах от 425 до 550 г; б) не менее 300 г; в) не более 700 г.

12.7.14. Детали по длине распределяются по нормальному закону со средним значением 20 см и дисперсией, равной 0,2 см². Определить вероятность того, что длина наудачу взятой детали будет заключена в пределах от 19,7 см до 20,3 см, то есть отклонение в ту или иную сторону не превзойдет 0,3 см.

12.7.15. При измерении расстояний до удаленных предметов ошибка подчинена нормальному закону со средним значением, равным 20 м, и средним квадратическим отклонением 40 м. Определить вероятность того, что измеренное расстояние отклоняется от действительного в ту или другую сторону не более чем на 30 м.

12.7.16. Случайная величина подчинена нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением 0,4. Определить вероятность того, что значение случайной величины отклоняется от математического ожидания на величину, меньшую 0,3.

12.7.17. Средняя масса яблок – 120 г. 5% яблок данной партии отклоняются от нее более чем на 20 г. Считая, что распределение массы яблок подчиняется нормальному закону, найти, какой процент яблок имеет массу в пределах от 100 до 130 г.

12.7.18. Средняя высота дерева в некоторой роще равна 12 м. Определить, исходя из предположения, что высота деревьев распределяется по нормальному закону, какой процент деревьев имеет высоту, превышающую 15 м, если деревья, высота которых не достигает 10 м, составляет 15 %.

12.7.19. Считая, что распределение массы яблок подчинено нормальному закону с М(Х)=120 г и D(Х)=100 г², найти вероятность того, что масса хотя бы одного из наудачу выбранных четырех яблок будет в пределах от 100 до 130 г.

12.7.20. Случайная величина, распределенная по нормальному закону, имеет математическое ожидание 5 м и дисперсию, равную 16 м². Определить вероятность того, что случайная величина примет значение не менее 6 м и не более 8 м.