12.5. Дискретная случайная величина Программные вопросы

1. Дискретная случайная величина и закон её распределения. Многоугольник распределения.

2. Функция распределения случайной величины.

3. Числовые характеристики дискретной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение; их свойства и вероятностный смысл.

Решение типового примера

Задача 12.5. Для случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета в беспроигрышной лотерее, в которой разыгрывается 100 выигрышей (10 по 50 руб., 30 по 10руб., 60 по 1 руб.), 1) построить ряд распределения; 2) вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение; 3)найти функцию распределения вероятностей.

Решение. 1) Случайная величина в результате испытания принимает одно из своих возможных значений, которое предугадать заранее невозможно. Дискретная случайная величина Х, принимающая значения х₁, х₂,…, х_n с вероятностями р₁, р₂,…, р_n, может быть задана рядом распределения, который записывается в виде таблицы:

Х	х1	х2	…	хn
Р	р1	р2	…	рn

В нашем случае возможные значения случайной величины Х: 1, 10 и 50. Вероятности этих значений ,,.

Получаем ряд распределения:

Х	1	10	50
Р	0,6	0,3	0,1

2) Так как математическое ожидание М(Х) для дискретной случайной величины Х находится по формуле

,

то получаем: М(Х) = 1∙0,6 +10∙0,3 + 50∙0,1 = 8,6

Дисперсия D(Х) случайной величины Х может быть найдена по формуле:

D(Х) = М(Х²) - [М(Х)]²

Вычислим М(Х²) = 1²∙0,6 + 10²∙0,3 + 50²∙0,1 = 280,6. Тогда D(Х) = 280,6 – (8,6)² = 206,64.

Среднее квадратическое отклонение . Получаем:.

3) Для случайной величины Х функция распределения вероятностей F(x) определяется формулой: F (х) = Р (Х<х)

Для дискретной случайной величины F(x) вычисляется по формуле:

.

Найдём функцию распределения вероятностей.

Если x < 1, то F(x)=Р(Х<х)=Р(- <X< x)=0, так как интервал (-; х) не содержит возможных значений Х; если 1< x ≤10, то F(x)=Р(Х<х)= =Р(- <X< x)=P(X=1)=0,6; если 10< x≤50, то F(x)=Р(Х<х)=Р(Х=1)+ Р(Х=10)=0,6+0,3=0,9; если х>50, то F(x)=Р(Х<х)=Р(Х=1)+ Р(Х=10)+Р(Х=50)=0,6+0,3+0,1=1. Итак,

Ответ: 2) М(Х) = 8,6; D(Х) = 206,64. .

Задачи контрольной работы

12.5.1. Охотник, имеющий 4 патрона, стреляет в цель до первого попадания или пока не израсходует патроны. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле 0,25. Составить закон распределения случайной величины Х – числа израсходованных патронов.

12.5.2. Монета брошена три раза. Случайная величина Х – число появления герба. Написать закон распределения и построить многоугольник распределения случайной величины Х.

12.5.3. Составить закон распределения попадания в цель при четырех выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле 0,25.

12.5.4. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в нее первым стрелком равна 0,5, вторым – 0,4. Составить закон числа попаданий в мишень.

12.5.5. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые посетит студент, если в городе четыре библиотеки.

12.5.6. Независимые случайные величины Х и У заданы следующими законами распределения:

Х	0	2	5		Y	1	2	4	5
р	0,15	0,25	0,6		p	0,1	0,35	0,15	0,4

Составить законы случайных величин Х + У, ХУ, 0,5У.

12.5.7. Независимые случайные величины Х и У заданы следующими законами распределения:

Х	0	2	4	6		Y	-1	1	3	5
р	0,1	0,2	0,3	0,4		р	0,2	0,3	0,3	0,2

Составить законы распределения случайных величин Х + У, ХУ.

12.5.8. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Х	3	5	7	10
р	0,2	0,1	0,4	0,3

Найти функцию распределения этой случайной величины и построить ее график.

12.5.9. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Х	1	2	3	4	5
Р	0,1	0,2	0,1	0,2	0,4

Найти функцию распределения этой случайной величины.

12.5.10. Монета брошена три раза. Случайная величина Х – число появления герба. Построить ряд распределения этой случайной величины и найти ее интегральную функцию распределения.

12.5.11. В студенческой группе организована лотерея. Разыгрываются две вещи стоимостью по 15 рублей, и одна стоимостью 55 рублей. Составить закон распределения суммы чистого выигрыша для студента, который приобрел один билет за 2 рубля; всего продано 50 билетов.

12.5.12. Стрелок сделал 3 выстрела по мишени с вероятностью попадания при каждом выстреле 0,6. Найти интегральную функцию распределения числа попаданий по мишени и построить ее график.

12.5.13. Среди 10 лотерейных билетов имеются 4 билета с выигрышем. Наудачу покупают 2 билета. Написать закон распределения вероятностей числа выигрышных билетов среди купленных.

12.5.14. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Х	2	3	5
р	0,1	0,4	0,5

Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины Х.

12.5.15. В партии из 20 курток 5 имеют скрытый дефект. Найти закон распределения числа дефектных курток среди 3 купленных.

12.5.16. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Х	-2	5	7
р	0,5	0,2	0,3

Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины Х.

12.5.17. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Х	1	3	4	5
р	0,1	0,4	0,2	0,3

Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины Х.

12.5.18. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету 0,4. Приобретено 30 билетов. Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа билетов, на которые выпадет выигрыш.

12.5.19. Вероятность появления бракованной детали равна 0,3. Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа годных деталей в партии из 1000 штук.

12.5.20. Проведено 100 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления некоторого события равна 0,6. Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа появления события в этих испытаниях.