5.3. Уравнение Шредингера для атома водорода. Квантовая теория атома водорода. Квантовые числа. Принцип Паули.

Рассмотрим самый простой атом - атом водорода. Атом водорода состоит из протона - частицы с электрическим зарядом, равным +e, и электрона - частицы с отрицательным зарядом –e, который в 1836 раз легче протона. Будем считать, что протон покоится, а электрон, удерживаемый электрическим полем протона, движется вблизи него. В этом случае движение .электрона описывается волновой функцией (x,y,z). Потенциальная энергия U представляет собой электростатическую потенциальную энергию заряда (-е) , находящегося на расстоянии r от другого заряда (+е):

Трехмерное уравнение Шредингера для электрона в атоме водорода имеет вид:

Поскольку U является функцией r, а не x,y,z мы не можем ее прямо подставить в уравнение. У нас есть два пути: выразить U в декартовых координатах, либо в перейти к сферическим координатам r,, .

Оказывается, благодаря симметрии физической картины, переход к сферическим координатам существенно упрощает решение задачи.

Сферические координаты точки M, изображенные на рис. 16, имеют следующий смысл:

- длина радиуса - вектора от начала координат до точки M;

- угол между радиусом - вектором и осью +z;

- угол между проекцией радиуса - вектора на плоскость xy и осью +x, измеренный в направлении, указанном на рис.16.

В сферических координатах уравнение Шредингера приобретает следующий вид:

z

у

x

Рисунок 16

Это уравнение полностью определяет поведение электрона в атоме водорода.

Можно показать, что уравнение имеет требуемые однозначные, конечные и непрерывные решения в следующих случаях: 1) при любых положительных Е ; 2) при дискретных отрицательных значениях энергии, равных

, .

Преимущество записи уравнения Шредингера в сферических координатах при решении задачи об атоме водорода заключается в том, что в таком виде его легко разделить на три уравнения, каждое из которых зависит только от одной координаты.

Будем искать решения, в которых волновая функция является произведением трёх различных функций:R(r), зависящей только от r, , зависящей только от, и, зависящей только от. ФункцияR(r) характеризует изменение волновой функции электрона вдоль радиуса – вектора при постоянных  и ; Функция () описывает изменения  в зависимости от зенитного угла  вдоль меридиана на сфере, центром которой служит ядро, при постоянных r и . Функция характеризует изменение в зависимости от азимутального угла .

Окончательно находим:

Параметр , называемыйглавным квантовым числом, совпадает с номером уровня энергии. Параметры ипредставляют собой азимутальное и магнитное квантовые числа, определяющие по формулам

,

Модуль момента импульса и проекцию момента на некоторое направление .

Выражение представляет собой плотность вероятности нахождения электрона на расстоянииот ядра:

В связи с существованием спина электрона к указанным квантовым числам нужно добавить квантовое число , которое может принимать значенияи определяет проекцию спина на заданное направление.

Согласно принципу Паули в одном и том же атоме (или в какой-либо другой квантовой системе) не может быть двух электронов, обладающих одинаковой совокупностью квантовых чисел. Иными словами, в одном и том же состоянии не могут находиться одновременно два электрона.