- •2008Г. Тезисы к работе: «Решебник к задачам экзаменационных билетов по геометрии для классов с углубленным изучением математики за курс основной средней школы».
- •Билет №1.
- •Билет №2.
- •Билет №3.
- •Билет №4.
- •Билет №5.
- •Билет №6.
- •Билет №7.
- •Билет №8.
- •Билет №9.
- •Билет №10.
- •Билет №11.
- •Билет №12.
- •Билет №14.
- •X – искомый отрезок
- •Билет №15.
- •Билет №16.
- •Билет №17.
- •Билет №18.
- •Билет №19.
- •Билет №20.
- •Билет №21.
- •Билет №22.
- •Билет №23.
- •Билет №24.
- •2008Г. Тезисы к работе Мельниченко Анны: «Решебник к задачам экзаменационных билетов по геометрии для классов с углубленным изучением математики за курс основной средней школы».
Билет №15.
Задача №1. Найти площадь треугольника, если его стороны соответственно равны ,,.
Дано:,,,
Решение.
AB– большая сторона.
По теореме косинусов:
Ответ:6,5 кв.ед.
Задача №2. С помощью теоремы Чевы доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Дано:,AA1,BB1,CC1– биссектрисы
Доказательство.
По теореме Чевы должно выполняться равенство:
По свойству биссектрисы угла:
;;
Получим:
, значит, биссектрисы пересекаются в одной точке, ч.т.д.
Билет №16.
Задача №1. АВСD – квадрат со стороной а. вершины С, А и В являются серединами отрезков BM, ND и DF соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника NFM.
Дано:ABCD– квадрат,AB=a;
C,A,B– серединыBM,ND,DF
Решение.
- равнобедренный, т.к.
(по построению)
- прямоугольный
Ответ:
Задача №2. Площадь прямоугольника равна 520 м2, а отношение его сторон равно 2:5. найти периметр данного прямоугольника.
Дано:ABCD– прямоугольник,м2,.
Решение.
По условию
(м)
Тогда
(м)
Ответ:
Билет №17.
Задача №1. Найдите угол между векторами и, если,,.
Дано:,,.
Решение.
По условию
По условию
Пусть ,, тогда получим систему:
+
, т.е.
,
Итак , значит,
Ответ:
Задача №2. Дано: ,, . вычислите .
Дано:,, .
Решение.
По условию
Получим:
Ответ:
Билет №18.
Задача №1. Постойте отрезок , где а и с – длины данных отрезков.
Дано: отрезкиaиc
Построить:
Построение.
1) На одной стороне произвольного угла от его начала откладываем отрезки cиa;
2) На второй стороне угла откладываем отрезок а;
3) Проводим прямую через концы отрезков с и а и параллельно ей проводим прямую через конец отрезка а;
4) Получившийся отрезок х – искомый (по теореме Фалеса).
Задача №2. По данным четырём отрезкам a, b, c, d постройте трапецию с основаниями a и b. При каком соотношении между длинами этих отрезков это невозможно?
Дано: отрезкиa,b,c,d
Построить: трапецию, где
Построение.
1) Построим со сторонамиc,d,a-b
2) Достроим получившийся треугольник до параллелограмма
3) оставшаяся часть – искомая трапеция.
Билет №19.
Задача №1. Найдите острые углы треугольника АВС, если <АВС=900, АС=2, ВК=1, где СК – высота треугольника.
Дано:- прямоугольный,,
,, СК – высота
Решение.
Пусть , тогда по теореме о высоте, опущенной из вершины прямого угла
- не удовлетворяет условию задачи
:
Ответ:,.
Задача №2. В треугольник АВС вписана окружность. С1, В1 – точки её касания со сторонами АВ и АС соответственно; АС1=7, ВС1=6, В1С=8. найдите радиусы вписанной и описанной около треугольника АВС окружностей.
Дано:,,,,и- точки касания Окр
Решение.
,,, как отрезки касательных, выходящих из одной точки.
Тогда ,,,
По формуле Герона: , с другой стороны
Ответ:,