Билет №3.

Задача №1. Доказать, что точки А, В, С лежат на одной прямой, если А(-2; 0), В(3; 2,5), С(6;4).

Дано: А(-2; 0), В(3; 2,5), С(6;4).

Доказательство.

Запишем уравнение прямой ABи убедимся, что.

1) - уравнение прямой

- уравнение прямойАВ.

2) Проверим принадлежность точки Ск прямойАВ.

- верно, значит точкиA,B,Cлежат на одной прямой, ч.т.д.

Задача №2. Доказать, что четырёхугольник ABCD, вершины которого имеют координаты А (-2; -3), В (1; 4), С (8; 7), D (5;0) является ромбом. Найти его площадь.

Дано:ABCD– четырехугольник, А (-2; -3), В (1; 4), С (8; 7),D(5;0)

Решение. 1) Найдем длины отрезков АВ,CD,AD,BC.

Т.к. , тоABCD– ромб, ч.т.д.

2) Найдем площадь ABCD.

I способ.(т.к.по трем сторонам)

По формуле Герона:

II способ.

,

Ответ:

Билет №4.

Задача №1. В окружность вписан одиннадцатиугольник, одна из сторон которого равна радиусу окружности, а остальные десять сторон равны между собой. Найдите углы одиннадцатиугольника.

Дано:A₁A₂…A₁₁– одиннадцатиугольник

А₁А₂ = ОА₁ = r

A₂A₃ = A₃A₄ = … = A₁₁A₁

Решение.

1. Соединим О с вершинами А₁, А₂, ..., А₁₁.

Т.к. А₁А₂ = ОА_{1 =} ОА₂, то- равносторонний =>

2) Т.к. хорды A₂A₃, A₃A_4, …, A₁₁A₁ равны, то равны и дуги, ими стягиваемые, тогда

3) и равнобедренные, поэтому

Тогда ;

Ответ: 2 угла по 135° и 9 углов по 150°.

Задача №2. На окружности с центром в точки О выбраны точки M и N. Вторая окружность вдвое меньшего радиуса касается первой в точке M и делит пополам отрезок ON. Найдите угол ONM.

Дано:Окр.; Окр.;

Найти:

Решение.

I способ

(по условию) и- средняя линия треугольника, значит,и

как соответствующие углы прии сек.., как радиусы одной окружности, аналогично- равносторонний и, тогда

Ответ:

II способ.

Пусть - радиус меньшей окружности, тогда

(т.к. разделен отрезокONпополам).

Соединим KиM,, т.к. опирается на диаметр.

- прямоугольный

В - высота и медиана- равнобедренный,и

Ответ:

Билет №5.

Задача №1. Точка F лежит на стороне АВ правильного восьмиугольника ABCDMNPQ так, что AF=3,FB= . Найдите расстояния от точкиF до BC и PN.

Дано:- правильный восьмиугольник.,

Найти:и

Решение.

1. Нахождение радиуса:

Рассмотрим .

По теореме косинусов:

:

2) - равнобедренный, т.к.().

Пусть , тогда по теореме Пифагора:().

3)

Тогда

Ответ: 1 и.

Задача №2. ABCDЕF – правильный шестиугольник площади S. Какая фигура образуется в пересечении треугольников ACE и BDF? Найдите её площадь.

Дано: ABCDЕF– правильный шестиугольник

Решение.

1) Очевидно, что , тогда…,- равносторонние

,

( в силу симметрии правильного шестиугольника)MNLPQR– правильный шестиугольник.

2)

Ответ:

Билет №6.

Задача №1. В треугольнике АВС АВ=2, ВС=3 и угол ВАС в 3 раза больше угла ВСА. Найдите радиус описанной окружности.

Дано:

Решение.

Пусть , тогда.

По теореме синусов:

Ответ:

Задача №2. В треугольнике АВС из вершины В проведены высота ВН и биссектриса угла В, которая пересекает в точке Е описанную около треугольника окружность с центром О. доказать, что луч ВЕ является биссектрисой угла ОВН.

Дано:вписан в окружность(O;r),BE– биссектриса,BH– высота.

Решение.

I способ.

Биссектриса BEи перпендикуляр к сторонеAC, проходящий через ее сторону, пересекает дугуACв одной точке – ее серединеE, значит,

Q– точка пересеченияBOс окружностью, тогда

, откуда

, значит, ВЕ является биссектрисой угла ОВН, ч.т.д.

II способ.

Т.к.ACиBF– пересекающиеся хорды, то

- полуокружность, тогда

, т.к.BE– биссектриса, тогда, значит, ВЕ является биссектрисой угла ОВН, ч.т.д.