Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Академия труда и социальных отношений Федерации Независимых Профсоюзов России

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1063-Математика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.03.2015

Размер:

1.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Тема 4. Определенный интеграл.

Если функция f x определена, непрерывна и имеет				первообразную	F x на отрезке
a,b , то определенный		интеграл находится по		формуле Ньютона-Лейбница:
b			F x – первообразная		f x , то есть
f x dx F x	ba F b F a ,	где		для функции

F x f x ; a, b – нижний и верхний пределы интегрирования, показывающие, как меняется переменная интегрирования х.

Формула Ньютона-Лейбница связывает определенный и неопределенный интегралы.

Чтобы ею воспользоваться, следует взять сначала неопределенный интеграл, т.е. найти первообразную, причем удобно взять произвольную постоянную равной нулю: C=0, а затем вычислить разность значений этой первообразной в верхнем и нижнем пределах.

Свойства определенного интеграла

	b	b
1)	f x dx f x dx
	a	a
	b		b	b
2)	f x g x dx f x dx g x dx
	a		a	a
	b	a
3)		f x dx f x	dx
	a	b
	a
4)	f x dx 0
	a
	a	a		f x – четная
5)		f x dx 2 f x dx , где		f x – четная
	a	0
	a		f x – нечетная
6)	f x dx 0 , где		f x – нечетная
	a
				0		dx
Задача 17. Найти определенный интеграл						dx
							.
					x2	2x 3	.
				1
Решение.

1		1,0 функция
Функция f x x2 2x 3	имеет разрыв в точках x1=1 и x2=-3, но на отрезке	1,0 функция

непрерывна, а следовательно можно применить формулу Ньютона-Лейбница.

Так как x2 2x 3 x 1 2 4 , то используем метод замены переменной.

0	dx	t x 1	1	dt	1			t 2	1	1		1		1		2	1		1		1
0		dt d x 1 dx	1			ln			1		ln				ln			ln				ln	1	0,02465


1 x2 2x 3			0 t 2 4				t 2
		x t 1			4				0	4		3	4			2	4		3	4


		0 1
		1 0

Геометрический смысл определенного интеграла.

		b
Если непрерывная функция y f x неотрицательная на отрезке a;b , то f x dx численно
		a
равен площади под кривой y f x на отрезке a;b .
y	y	y f2 (x)
y f (x)

b x

y f1(x)

Задачи к теме 1. Функции одной переменной. Предел функции

Задача 1. Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

2x 2

125 25x

x 6

lim

x 1

5x 3 5x2 2x 1

x 1

x 5 8 x3

x2 2x 1

lim

x 1

x 2 x 2

3(x2 1)

8 x6

x 1

lim

4ln

x2 x 2

2 x 20 x3

x 1

lim

sin

3x 2

sin

6x ctg9x

lim

9 x

x 0

x 2

x 0

tg7x cos 5x

lim

2x 3 4x

lim 2ln 1 3x

lim

282 x 3

20x2 x3 x

x 0

tg3x

x 3

x 12

10x

4x 8

lim

2x2 1 3x4 2

x2 2x

x 1

28x

8x 16

lim

1 2x2

5 x 2x4

x 2

x 4

25 5x3

16 8x x2

lim

3 2x

1 x

x 1

1 x

x 4

x 2

lim

cos 2x

arctg6x

5 x2

2x 3x3 8x4

x 0

lim

x 2 5x

10.

6x2

1 x3

lim

x2 6x 5

lim

4 x

lim

9x 5x 1

x 5

11.

4x 8

lim

5 x

cos x

lim

tg x 3

2x 1 4x 1

x 3

x 2

12.

12x3

1 x2

4 8 x3

lim

x4 2x3 1

lim

3x 1 2x2 1 x2

x2 3 x2 1

x 2 x 2

x 2

13.

150x 100x

162

60x 180

lim

3 4x

27 x

x 3

14.

2x 3 x4

6 27 x3

lim

1 1 x

x 1 x

15.

lim ctg(x 1) arctg 2x 2

7 x

5x 3x

x 1

lim

x2 x 12

3 10x2

x 3

16.

arcsin x 2

5x 4

lim

1 x 1 x

x 4

x 2

x 0

x 4

17.

lim 4ctg2x sin 5x

2 x 5 x

25x 50

x 0

lim

5x x 1 8x 1

x 6

x 2

18.

lim

10 x

2x x 1

lim 18 2x

8arctg x

1 x

x 9

x 3

lim

x 0

e4 x 1

19.

120x

8 x 4

lim

15 15

1 x

x 4x2 2x 3x2 x 8

x 4

x 1

20.

x2 3x x5

lim

100 4x

x 1

lim

5 x 1 x

x 5

1 x

x 25

x 1 x

21.

lim

arctg 3x 3

lim

9 x2 16

2x 1 2 x2 1 2

lim

x 1 x 1

x 20

5x 3 2

x 4

22.

4x 1 2x 1

x2 4x 3

lim

2 x 2 x

lim

x 0

x 3

64x

23.

tg3x

15x4 8x 2

lim

15 x 1

lim

x 2

150x2 3x 1

x 0 cosx

sin 2x

x 1

24.

lim

x arcsin 2x

lim

2 x3 125

lim

5 x2 1 3x 1

10x 50

5x 1 x2 1

x 0

1 cos

x 5

25.

2x 15x

8x 64

240 120 x

lim

x 8

x 3x2 1 5x3 x 2

x 8

26.

sin 1 x

cos 3x cos x

lim

x 1

x 5 x 1 x2 3x

x 1

x 0

27.

x2 4x 3

2x2

3 4x3 5

lim

5 x

3 x

x33x2 x 3

x5 3x 1

x x2

x 3

x 1

28.

3x 16

1 tg3x 1

lim

x2 3 2x2 8

x 0

16 x 4

x 2

2x2 x 10

Задачи к теме 2. Производная и дифференциал функции

Задача 2. Найти производную y´(x).

y x arctg ln

15.

y x ln x2

tg x 4x2

x2 3

y x tg 4x 2x 1

16.

y x tg2x

4x3 2

x2 1

y x

27x7

17.

y x tg2 x sin 4x

sin3 x 1

y x

cos x

18.

y x

4 5x3

5 x2

sin 4x

y x ln arcsin x

19.

y x tg3 6x e

y x sin

x tg3x

20.

y x 4x sin 2x

x 4x2

y x

21.

y x

cos

sin 4x

x 2

y x 2x3 sin2 x 8

22.

y x x6 cos x

y x

ctg 2x

23.

y x cos x x2 ln x3

x2 1

10.

y x

1 x3

24.

y x tg x 6 x

sin 2x 1

11.

25.

y x

2 x

tg7x

tg x

12.

y x

cos 4x

26.

y x tg4x e2 x

x2 5

13.

y x

arcsin 5x

27.

y x 4x3 arcsin 5x

e8x 1

14.

y x

4 sin2 x

28.

y x arcsin x3 4xx2

x2 1

Задача 3. Выполнить полное исследование функции по следующей схеме:

1)найти область определения функции;

2)определить, является ли функция четной или нечетной;

3)определить, является ли функция периодической;

4)найти точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции;

5)найти точки разрыва функции, односторонние пределы функции в этих точках;

6)найти наклонные и горизонтальные асимптоты графика функции;

7)найти интервалы возрастания и убывания функции, экстремумы функции;

8)найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба графика функции.

15.

x 4 2

4 x 2

2 x 2

16.

x x 7

x 9

x 1

x 2

17.

x x 2

x 7x 10

x 1

18.

3 x 3

4 x 4

19.

x 2x 2

x 1

x 3

x2 8x

20.

x2 2x 10

2 x 1

2 x 3

2x x2 6

21.

x 2 2

y 4 x 1

2 x 1

3 x 2 2

22.

x2 3x 6

4 x 3

x 1

23.

x 4

x 4x

x 1

10.

24.

x 3x 11

x 2x 5

x 2

2 x 1

11.

x 3 2

25.

8x x2

2 x 1

12.

x2 3x 11

26.

x 2 2

x 2

y 2 x 1

13.

x 1 2

27.

x 3 2

x 1

5 x 2

14.

2x 3 2

28.

x 2 2

4 x 1

x 1

Задачи к теме 3. Неопределенный интеграл

Задача 4. Найти интеграл, применяя формулы из таблицы основных неопределенных

интегралов.

1.										3												3						x
										3
	3 x 2																																			4		x
	3 x 2
													dx							15.					x																dx
													dx							15.																					dx
						x
						x

2.				2				3																3
	2x			2											x									3
																		dx		16.		x 2 35															x

							2x																																dx
							2x																						x										dx
																													x
3.																					2x3																					dx
3.	3				x 3									dx						17.										33									x2			dx
														dx						17.
		2x2

4.									x
4.	2					x																2x				3										3		x		2
	2					x								dx						18.		2x							5									x					dx
														dx						18.													x										dx
			3					x																									x

5.	4
																						3x2 2 x3
					x																	3x2 2 x3
										2x										19.																							dx
		x			2					2x							dx			19.													x										dx
		x																															x

6.
6.	2x7 x																dx			20.		2x3 33 x2																					dx

									x																						x			2
																																		2


7.																2 4																					x2
																	x
																							5						2
																							5						2
	3
				x										x					dx	21.							x										2				dx
														x																							2

8.														7																							3
8.	2	3				x x								7										x 2x													3
	2					x x											dx			22.				x 2x															dx
																												x2
									x
									x


9.
9.	3x2 6 x																dx			23.		5		x 2x													2		dx
							x										dx			23.								x				2							dx
							x																					x

10.	2x3 6																																						x
														x									7								2
														x									7
																	dx			24.							x																dx
						x2											dx			24.							x										5						dx
						x2																															5			x

11.																																				2x
	6	x5							5x2														5
	6	x5							5x2														5
																		dx		25.							x														dx
									x									dx		25.							x								7						dx
									x																													x
12.															1								27														5
																														x										x
								x																						x										x
	x																		dx	26.																								dx
	x													5					dx	26.							x											x		2				dx
																	x										x											x

13.											36																										5
13.			2								36			x													x										5			x
			2

	x													x				dx		27.			2		7					x									x					dx
														x									2							x									x

14.		3										5										2x2																	x5
		2			2
	x													x						28.
	x													x						28.
																	dx					7						x											x					dx
								x									dx					7						x											x					dx
								x

Задача 5. Найти неопределенные интегралы, используя метод замены переменной.

sin x

cos

xdx

cos x 2 3

15.

3x2

2 ln x 3 10

16.

5 x2

sin x cos cos x dx

3x2

17.

x3 5dx

15 ln x

sin

x cos xdx

18.

sin x

8 dx

19.

cos2 x

sin

x cos xdx

sin xdx

20.

2 cos x

x2 x 0,6

2x 1 dx

4 ln x

21.

sin 2x7

cos3 2xdx

1 ln x

22.

cos x

cos ctgx

23.

3 sin x

sin

10.

x5dx

ctg x

24.

sin2 x

11.

6x5

25.

5 ctg x 2

7 x6

sin2

12.

e8 x dx

26.

sin2 ex

8 e8 x

13.

sin x

cos2 x 16

27.

14.

sin x

28.

ln x 8 10 dx

4 3cos x 2

Задача 6. Найти неопределенный интеграл, применяя метод интегрирования по частям.

2 exdx

1 exdx

15.

x arctg 2xdx

22.

x arcctg xdx

x 1 e xdx

1 e xdx

16.

x2 sin 2x 3 dx

23.

arccos

1 4x

1 e xdx

10.

arctg 2xdx

17.

x sin 2x 1 dx

24.

arccos 2xdx

1 exdx

x cos x2dx

x e xdx

11.

18.

25.

arccos

1 x

x arcctg 2xdx

12.

arccos xdx

19.

x arctg x

x arccos x

26.

1 x

x 1 exdx

13.

x2 cos 2xdx

20.

arcsin

ln x 1 dx

27.

1 x

1 x exdx

14.

x sin2 xdx

21.

x arctg xdx

28.

arcctg 2xdx

Задача 7. Найти неопределенный интеграл от дробно-рациональной функции,

раскладывая их на простейшие дроби, выделив, если это необходимо, целую часть.

17x dx

x 2

15.

22.

7x 7 dx

x 2 x2 2x 3

x 1 x2

5x 6

x 1 x2 2x 5

3x2

4x2dx

16.

3x 13

23.

6x2dx

x 1 x2

2x 5

x 1 x2 1

2x 1 x 1

x 1 x2 3x 2

2x 22 dx

10.

43x 67

17.

19x 6 dx

24.

5x 13

x 2 x2

2x 10

x 1 x2 x 12

x 1 x2 6x 13

x 2 x 3

12dx

11.

6 dx

18.

13x 40 dx

25.

12x 6 dx

x 2 x2

2x 3

x 2 x 1

4x 13 x 1

x 1 x2 8x 15

20 dx

12.

x 2

19.

32x 52 dx

26 dx

26.

x 1 x 2x 5

6x 5 x 3

x 5 x2 4x 3

13.

3x 24 dx

20.

41x 91 dx

x 5

27.

x3 x2

x 1

x 2 x 3

2x 3 x 4

8xdx

14.

x 2

21.

4xdx

28.

7x 2 dx

6x 5 x 3

1 x 1

x 1 x2 x

Задача 8. Найти интеграл, применяя универсальную тригонометрическую подстановку

sin x

, cosx

1 t 2

, t t g

t 2

1 t 2

2 .

15.

5 4sin x

3sin x cos x

16.

8 4 cos x

4 4sin x 3cos x

17.

3sin x 4cos x

cos x 3sin x

18.

2 4sin x 3cos x

3 5sin x 3cos

7sin x 3cos x

19.

7 cos x 3sin x

sin x cos x

5 2sin x 3cos x

20.

1 cos

3cos x 4sin x

21.

4cos x 3sin x

2 sin x 3cos x

22.

5 4sin x 2cos x

1 cos x

3sin x 2cos x

5 sin x 3cos x

23.

1 cos x

10.

24.

4sin x 3cos x 5

5 3cos x 5sin x

11.

25.

3 cos x sin x

5cos x 10sin x

12.

7 6sin x 5cos x

1 cos x

26.

3 2cos x sin x

13.

5 3cos x

27.

5 3cos x

14.

6sin x cos x dx

28.

1 cos

8 4sin x 7 cos x

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Subj

#
24.03.2015123.23 Кб241030-Правоведение (сборник контрольных заданий).pdf
#
24.03.2015208.94 Кб251032-Психология.pdf
#
24.03.20151.05 Mб381061-Интернет-технологии.pdf
#
24.03.2015377.19 Кб631062-Математика.pdf
#
24.03.20151.31 Mб391063-Математика.pdf
#
24.03.20153.56 Mб411064-Офисные технологии обработки информации.pdf
#
24.03.2015501.17 Кб59110-Экономическая теория (Микроэкономика).pdf
#
24.03.2015220.29 Кб231130-Психология_2012.pdf
#
24.03.2015392.85 Кб231143-Trade Unions new.pdf
#
24.03.2015276.84 Кб27117-Основы социального государства.pdf