1063-Математика

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Академия труда и социальных отношений Федерации Независимых Профсоюзов России

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Задача 1. Найти неопределенный интеграл

dx . Результат проверить

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.03.2015

Размер:

1.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

дифференцированием.

Решение.

Преобразуем подынтегральную функцию и применим интегралы от степенных функций:

																																	x dx											x 1						C		и				dx
																																												x 1												dx			ln				x			C
																																											1														x		ln				x			C
																																											1														x
																												1
																												1
		33 x 2 6x4																					3x					3					2 6x4																				1	4						4								4	4														4		8
		33 x 2 6x4																					3x					3					2 6x4																																			4
																																																				3 3								3								3									1						3		3
																																																				3 3								3								3															3		3
			3						4							dx											4							4						4			dx							3x					2x						6x									dx						3x			2x					6x		dx
							x																		x		3					x		3					x	3
																									x							x							x
																																																																						4									8
															4											8																					4								8															x				1						1
			3												4											8												dx									4								8																	3		1				x 3		1
			3		dx 2x										3 dx 6x 3 dx																		3					dx			2 x						3 dx 6 x 3 dx 3ln																	x			2					3			6			x 3				C
			x																																			x																																4					6		8					C
			x																																			x																																4							8
																																																																									1						1
																																																																							3		1				3		1
											6				18					3	2																		6						18
3ln											6				18					3	2		C 3ln																6						18				x3 3			x2 C
						x													x		3														x
						x													x		3														x
										3 x					11																								3 x						11
										3 x					11																								3 x						11
Проверка.
									6					18																																						1					18					11
																				3			3			2																										1										11
																				3			3			2
	3 ln			x															x					x					C								3 ln						x							6x		3									x 3							C
	3 ln			x															x					x					C								3 ln						x							6x		3									x 3							C
								3				x		11																																												11
								3

																																																										1										8		4
																	1														11																					8
		1									1						1	1				18				11					11		1								3						2					8					3x 3			2 6x 3 x 3															33 x 2 6x 4
		1									1							1				18				11							1								3						2										3x 3			2 6x 3 x 3															33 x 2 6x 4
3			6										x		3															x 3						0															6x 3
3			6										x		3															x 3						0												4			6x 3														4
		x										3										11				3																x						4																	4												3				x 4
		x										3										11				3																x				x 3																	x 3														3				x 4
																																														x 3																	x 3

Получена подынтегральная функция, что и требовалось показать.

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ (ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОДСТАНОВКОЙ).

Сведение интеграла к табличному виду осуществляется введением новой переменной

t = (x). Тогда дифференциал

dt равен dt x dx .

1 2x

Задача 2. Найти

неопределенный

интеграл

sin

dx .

Результат

проверить

дифференцированием.

Решение.

За новую переменную возьмем

аргумент

подынтегральной

функции

1 2x

найдем dt по формуле:

dx 0

1 dx

dt t x dx

Тогда
								t	1 2x
									1 2x
				1 2x						3
										3
										2					3		3		3	cos t C
	sin				dx			dt				dx		sin t		dt		sin tdt
	sin				dx			dt				dx		sin t		dt	2	sin tdt
				3						3					2		2		2
								dx			3	dt
								dx		2		dt
										2
		3	cos t C			3		1 2x					C
							cos
							cos
		2				2			3

В последнем действии осуществлен переход к исходной переменной x с учетом, что

t			1 2x			.
t						.
				3
Проверка.
	3			1 2x						3				1 2x		3		1 2x	1 2x
	3			1 2x						3				1 2x	C	3		1 2x	1 2x
		cos						C				cos					sin			0
		cos						C				cos					sin			0
	2						3			2				3		2		3	3
			3		1 2x				2				1 2x
				sin							sin
				sin							sin
			2				3		3					3

Что и требовалось показать.

Задача 3. Найти неопределенный интеграл x2 dx . 1 x6

Решение.

В данном примере применим метод подведения под знак дифференциала, который основан на равенстве f g x d g x F g x C . То есть, главной задачей является приведение подынтегральной функции к виду f g x d g x . Поэтому желательно иметь перед глазами таблицу производных основных элементарных функций.

Используем метод подведения под знак дифференциала. Из таблицы производных имеем d x3 3x2 dx , поэтому x2 dx 13 d x3 , а по таблице основных интегралов видим

	dx			arctgx C . Следовательно, решение по методу подведения под знак дифференциала

	1 x2
будет следующим:
		2				1	d x3	t x3
						1
	x											1	dt		1		arctg t C		1	arctg x3	C
	x			dx	3			dt 3x2 dx				1	dt		1				1
	1 x		6	dx			3 2	dt 3x2 dx					2
	1 x			1 x				x2 dx	1	dt	3		1 t	3					3
				1 x					1

								3
														1
Задача 4. Найти неопределенный интеграл e1																		x dx .
Задача 4. Найти неопределенный интеграл e1																3		x dx .

Решение.

За новую переменную возьмем показатель степени t 1 13 x . Тогда

			t 1		1		x
			t 1				x
	1			3
e1	1	x dx		1				et 3dt 3 et dt 3et
			dt			dx
	3
	3
				3
			dx 3dt

Задача 5. Найти неопределенный интеграл xsin 2

1 1 x

C 3e 3 C

3x2 dx .

Решение.

За новую переменную удобно взять аргумент тригонометрической функции, если к тому же под интегралом присутствует производная этого аргумента (с точностью до постоянного множителя).

x sin 2 3x		dx	t 2 3x2				1		1		1		1	cos 2			C
	2		dt 6xdx				1		1	sin tdt	1	cos t C	1		3x	2
						sin t		dt
						sin t		dt
			xdx	1	dt		6		6		6		6
				1

			6

Задача 6. Найти неопределенный интеграл sin 3x63 4cos 3xdx .

Решение.

За новую переменную удобно взять подкоренное выражение, так как под интегралом присутствует также его производная (с точностью до постоянного множителя).

										t 3 4cos 3x																		7
																												7
										dt 4 sin 3x 3dx							1			1		1		1		t 6
sin 3x6					3 4cos 3xdx									6		t	1	dt		1	t	6	dt	1		t 6			C
sin 3x6					3 4cos 3xdx									6		t		dt			t	6	dt						C
										sin 3xdx		1					12			12				12			7
												1	dt												6
													dt
										12
										12
	1		6				1				C
	1		6	6 t 7			1	6	3 4cos 3x 7
				6 t 7				6	3 4cos 3x 7
12		7				14
Задача 7. Найти неопределенный интеграл																x3			dx .
Задача 7. Найти неопределенный интеграл															2 x4 2				dx .

Решение.

За новую переменную берем функцию, стоящую в основании степени, так как подынтегральное выражение содержит производную этой функции (с точностью до постоянного множителя).

t 2 x4

t 1

dt 4x3dx

t 2 dt

2 x4 2

t 2

4 2 x4

x3dx

Задача 8. Найти неопределенный интеграл ln 3 2x 3 dx . 2x 3

Решение.

Здесь под интегралом содержится логарифмическая функция, удобно принять ее за новую переменную, учитывая, что под знаком интеграла присутствует производная этой функции (с точностью до постоянного множителя).

ln 3 2x 3

t ln 2x 3

2dx

t 3

t 3dt

t 4

ln 4 2x 3 C

2x 3

2 4

2x 3

Задача 9. Найти неопределенный интеграл

x cos 2x

dx .

sin 2x

Решение.

Примем за новую переменную знаменатель дроби подынтегральной функции.

x cos 2x

t x2 sin 2x

dt 2x 2 cos 2x dx

x2 sin 2x

dt x cos 2x dx

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ.

Интегрирование по частям производится по формуле:

udv uv vdu

Этим методом интегрируются некоторые произведения, например, произведения степенной функции на логарифмическую, или на показательную, или на тригонометрическую, или на обратные тригонометрические функции.

Чтобы воспользоваться формулой, следует один множитель в подынтегральном выражении обозначить u, а другой множитель вместе с dx принять за dv. Для того, чтобы интеграл в правой части был проще данного интеграла, надо правильно выбрать множители u и dv. В интегралах, берущихся по частям, обычно логарифмическую и обратные

тригонометрические функции принимают за u, а показательную или тригонометрические

функции относят к dv.

Задача 10. Найти неопределенный интеграл	ln x			dx .

	3
		x	2

Решение.

принимаем :

находим :

ln x

ln x x

3 dx

u ln x

vdu ln x 33

3x 3

3 x2

x 3

v x

3x 3

ln x 3 x

dx 33

ln x 3 33

C 33

ln x 3 C

Задача 11. Найти неопределенный интеграл x 2 sin 5xdx .

Решение.

принимаем :

находим :

x 2 sin 5xdx

u x 2

du dx

v sin 5xdx

sin 5xdx

cos 5x

vdu x 2

cos 5xdx

x 2 cos 5x

cos 5xdx

5cos 5x

x 2 cos 5x

cos 5xd 5x

x 2 cos 5x

sin 5x C

Задача 12. Найти неопределенный интеграл 3 x e 5 dx .

Решение.

x	принимаем :


3	x e	5	dx	u 3 x
		dv			x
	u	dv		dv e 5 dx
	u


		находим :
		du dx					uv vdu
	x		x	x		x
				x
v e 5 dx 5 e 5 d					5e 5
v e 5 dx 5 e 5 d					5e 5
				5

3 x 5e

dx 5 3 x e

5 e

dx 5 3 x e

5 5 e

5 3 x e

25e 5

ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

Рациональная дробь – это отношение двух многочленов	P x	, где	P x и Q x ,–
	Q x

многочлены степеней n и m соответственно. Если степень многочлена в числителе строго меньше степени многочлена в знаменателе (n < m), то дробь называется правильной. В

противном случае (n m) дробь неправильная, она представляется в виде суммы некоторого многочлена и правильной рациональной дроби.

Простейшими дробями называются правильные дроби следующего вида:

1)A

		A
2)			, где m – натуральное число и m>1
		x a m
3)		Ax B		,	где p2 4q 0 , т.е. квадратный трехчлен в знаменателе не имеет

		x2 px q

	действительных корней
4)		Ax B			, где n – натуральное число, n>1 и квадратный трехчлен в знаменателе не

		x2 px q n

имеет действительных корней.

Во все четырех случаях предполагается, что A, B, p, q, a – действительные числа.

Для

интегрирования рациональной

функции

P x

используется

Q x

последовательность шагов:

Шаг 1. Преобразование неправильной рациональной дроби

Если дробь неправильная (т.е. степень числителя P(x)

больше степени знаменателя Q(x)),

P x

P (x)

разделим многочлен P(x) на Q(x). Получим следующее выражение:

M (x)

, где

Q x

Q(x)

P1 x

M(x) – многочлен, а

– правильная рациональная дробь.

Q x

Шаг 2. Разложение знаменателя на множители

Запишем

многочлен знаменателя

Q(x) в

виде: Q x x a m x2 px q n ,

где

p2 4q 0 , т.е. квадратный трехчлен

x2 px q не имеет действительных корней .

Шаг 3. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Запишем рациональную функцию в следующем виде:

P x

B x C

Q x

x a m

x a m 1

x a

x2 px q n

x2 px q n 1

x2 px q

Общее число неопределенных коэффициентов Ai , Bi , Сi должно быть равно степени знаменателя Q(x). Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменатель Q(x) и

приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями x. В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов Ai , Bi , Сi .

Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собой метод неопределенных коэффициентов.

Шаг 4. Интегрирование простейших рациональных дробей.

Рассмотрим интегралы от простейших дробей первых трех типов:

dx Aln

x a

m 1

x a

arctg

2x p

px q

4q p2

Ax B

2x p

Тогда

dx B

. В

первом интеграле

x2 px q

2 x2

px q

числитель является производной знаменателя, поэтому

2x p

ln x2 px q C .

x2 px q

При разложении простейших дробей возможны ситуации:

1)если числитель является производной знаменателя, то интеграл равен логарифму натуральному от знаменателя:

	2ax b		dx	d (ax		2 bx c)	ln(ax2	bx c) C
ax	2	bx C		ax	2	dx c

2)квадратный трехчлен в знаменателе можно разложить на линейные множители, а

подынтегральную функцию на простые рациональные дроби:

px a

ax2 bx c

a(x x )(x x

)

(x x )(x x

)

(x x )(x x

)

x x

Коэффициенты А и В находят методом неопределенных коэффициентов.

3) квадратный трехчлен в знаменателе нельзя разложить на линейные множители, тогда

следует выделить полный квадрат и ввести замену:	mx n
		dx
	ax2 bx c

ax2 bx c a x2

a x2

2 x

После чего вводят новую переменную: t x 2ba ;

c a

x t	b	;	dx dt
	2a

m(t

) n

mx n

dt.

bx c

a(x

)

Эти интегралы можно вычислить: первый – подведением под знак дифференциала, второй

непосредственным интегрированием.

Задача 13. Найти неопределенный интеграл

2x 1

dx .

2x 1

Решение.

Так как x2 2x 1 x 1 2 , то используем метод замены переменной.

2x 1

t x 1

2t 1

dt d x 1 dx

dt 2

2 dt 2 ln

C 2 ln

x 1

x t

Задача 14. Найти неопределенный интеграл

x 1

dx .

4x 3

Решение.

Так как 4x2 4x 3 2x 1 2 4 , то используем метод замены переменной.

x 1

t 2x 1

t 1 1 1

t 1

tdt

dt d 2x

1 2dx

4x 2 4x 3

t 2 4

t 1

t 2

4x 2

4x 3

2x 1

t 2 4

t 2

2x 3

Задача 15. Найти неопределенный интеграл

8 x

dx .

4x 13

Решение.

Так как x2 4x 13 x 2 2

9 , то используем метод замены переменной.

–

8 x

t x 2

6 t

tdt

d t 2 9

dt d x 2 dx

dt 6

x2 4x 13

t 2

t 2 9

x t 2

2arctg

ln t 2

9 C 2arctg

x 2

ln x2

4x 13 C

Задача 16. Найти неопределенный интеграл

x2 2x 2

dx .

Решение.

Так как

x3 2x2 8x x x 4 x 2 ,

то разложим рациональную дробь на сумму

простейших дробей и применим метод неопределенных коэффициентов:

x2 2x 2

2 2x 2

x3 2x2 8x

x x 4 x 2

x 4

x 2

Из последнего равенства найдем постоянные коэффициенты А1, А2, А3. Приводя дроби в

правой части к общему знаменателю, приходим к равенству:

x2 2x 2

x 2 x 4 A x x 2 A x x 4

x x 4 x 2

Теперь избавляемся от знаменателей, т.к. они одинаковы:

A1 x 2 x 4 A2 x x 2 A3 x x 4 x2 2x 2 .

В левой части раскрываем скобки:

A1 x2 2A1 x 4A1 x 8A1 A2 x2 2A2 x A3 x2 4A3 x x2 2x 2 .

Сгруппируем по степеням x, вынесем общий множитель за скобки: x2 (A1 A2 A3 ) x 4A1 2A1 2A2 4A3 8A1 x2 2x 2

x2 (A1 A2 A3 ) x 2A1 2A2 4A3 8A1 x2 2x 2

Составляем систему линейных уравнений из коэффициентов левой и правой части при соответствующих степенях x.

A1 A2 A3 1

2 A1 2A2 4A3 28A1 2


Решаем систему уравнений и получаем ответ:								A		1	,	A			13		,	A			1		.
Решаем систему уравнений и получаем ответ:								A			,	A					,	A					.
								1	4				2	12				3			6
									4					12							6
Тогда	x2 2x 2		1	dx 13		dx	1		dx				1					13						1
		dx												ln		x				ln		x 4			ln	x 2	C .
	x3 2x2 8x	dx	4	x	12	x 4	6		x 2				4	ln		x			12					6			C .
	x3 2x2 8x		4	x	12	x 4	6		x 2				4						12					6

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Интегралы вида R sin x,cos x dx , где R - рациональная функция от sinx и cosx, приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной с помощью универсальной

тригонометрической подстановки tg

t . В результате этой подстановки имеем

2tg

1 tg 2

1 t

2dt

sin x

, cos x

x 2arctgt,

t 2

1 tg

2 x

1 tg

1 t 2

Задача 17. Найти неопределенный интеграл

sin x cos x

Решение.

Подынтегральная функция является рациональной функцией от sinx и cosx. Применяем

подстановку tg					x	t .
подстановку tg					2	t .
					2
			dx								1						2dt					1 t 2			2dt				dt

	3 sin x cos x							3		2t			1	t 2		1 t 2				2 t 2 t 2				1 t 2				t 2 t 2

									1 t 2				1	t 2
									1 t 2				1	t 2
												1									1														x
									d t
									d t
			dt									2					2				t 2				2				2t 1		2			2tg 2		1
																			arctg				C				arctg			C			arctg				C
			1 2						1 2						2
				7														7			7					7			7			7		7
				7										7				7			7					7			7			7		7
		t					t



			2	4					2				2								2
			2	4					2				2								2

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Subj

#
24.03.2015123.23 Кб91030-Правоведение (сборник контрольных заданий).pdf
#
24.03.2015208.94 Кб111032-Психология.pdf
#
24.03.20151.05 Mб241061-Интернет-технологии.pdf
#
24.03.2015377.19 Кб471062-Математика.pdf
#
24.03.20151.31 Mб241063-Математика.pdf
#
24.03.20153.56 Mб271064-Офисные технологии обработки информации.pdf
#
24.03.2015501.17 Кб44110-Экономическая теория (Микроэкономика).pdf
#
24.03.2015220.29 Кб91130-Психология_2012.pdf
#
24.03.2015392.85 Кб91143-Trade Unions new.pdf
#
24.03.2015276.84 Кб13117-Основы социального государства.pdf