Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Академия труда и социальных отношений Федерации Независимых Профсоюзов России

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1063-Математика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.03.2015

Размер:

1.31 Mб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Уральский социально-экономический институт Образовательного учреждения профсоюзов Высшего профессионального образования «Академия труда и социальных отношений» Кафедра прикладной информатики и математики

МАТЕМАТИКА

Методические указания и индивидуальные задания к контрольной работе №2 для студентов заочной формы обучения

направления «Менеджмент»

Челябинск

2011

Алябьева Ю.В. Математика: методические указания и индивидуальные задания к контрольной работе №2 /Алябьева Ю.В.; Кравченко Е.А.; Морозова Е.В. УрСЭИ АТиСО. – Челябинск, 2011. – 46 с.

Контрольная работа составлена в соответствии с требованиями Федерального Государственного Образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению бакалавриата «Менеджмент».

Пособие содержит методические указания и индивидуальные задания к контрольной работе и правила ее оформления по дисциплине «Математика».

Составители: Алябьева Ю.В., старший преподаватель кафедры прикладной информатики и математики УрСЭИ

Кравченко Е.А., канд. пед. наук., доцент кафедры прикладной информатики и математики УрСЭИ

Морозова Е.В., канд. пед. наук., доцент кафедры прикладной информатики и математики УрСЭИ

Утверждено ученым советом УрСЭИ (протокол № от 2011 г.)

©Уральский социально-экономический институт Академии труда и социальных отношений, 2011

©Алябьева Ю.В., Кравченко Е.А., Морозова Е.В.,2011

Оглавление
Общие указания........................................................................................................	4
Тема 1. Функции одной переменной. Предел функции .........................................	6
Тема 2. Производная и дифференциал функции ..................................................	12
Тема 3. Неопределенный интеграл........................................................................	18
Тема 4. Определенный интеграл. ..........................................................................	31
Задачи к теме 1. Функции одной переменной. Предел функции ........................	33
Задачи к теме 2. Производная и дифференциал функции ...................................	35
Задачи к теме 3. Неопределенный интеграл .........................................................	37
Задачи к теме 4. Определенный интеграл.............................................................	41
Список литературы ................................................................................................	42
Приложение 1 .........................................................................................................	43
Приложение 2 ........................................................................................................	44

Общие указания

В курсе «Математика» студенты во втором семестре изучают основы математического анализа.

При выполнении контрольной работы №2 необходимо строго придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил не зачитываются

ивозвращаются студенту для переработки:

1.Контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку чернилами любого цвета, кроме красного.

2.В заголовке работы на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, вариант, название дисциплины, номер контрольной работы; здесь же следует указать название учебного заведения (см. приложение). В конце работы следует поставить дату ее выполнения и подпись студента.

3.В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по положенному варианту. Контрольные работы, содержащие не все задания, а также задачи не своего варианта, не зачитываются.

4.Решения задач надо располагать в порядке возрастания их номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач.

5.Перед решением задачи надо полностью выписать ее условие. В том случае, если несколько задач, из которых студент выбирает задачи своего варианта, имеет общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными, взятыми из соответствующего номера.

6.Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи. Вычисления должны быть доведены до конечного числового результата (в виде десятичного числа).

7.В конце работы необходимо привести список использованной литературы.

8.После получения отрецензированной работы студенту необходимо исправить все отмеченные ошибки и недочеты. Если работа возвращена на доработку, то следует переделать те задачи, на которые указывает рецензент, а при отсутствии такого указания вся контрольная работа должна быть выполнена заново. Переделанная работа высылается на повторное рецензирование обязательно с не зачтенной ранее работой и рецензией к ней. При этом на обложке следует указать фамилию рецензента.

9.На экзамен/зачет студент должен явиться с контрольными работами, допущенными к собеседованию.

10.Номера задач индивидуального задания контрольной работы №2 определяются по таблице с помощью первой буквы фамилии студента:

Первая буква фамилии		А		Б		В		Г		Д		Е		Ж
Первая буква фамилии
студента
студента

Номер задачи в каждой	1		2		3		4		5		6		7
теме	1		2		3		4		5		6		7
теме


Первая буква фамилии		З		И		К		Л		М		Н		О
Первая буква фамилии
студента
студента

Номер задачи в каждой	8		9		10		11		12		13		14
теме	8		9		10		11		12		13		14
теме


Первая буква фамилии		П		Р		С		Т		У		Ф		Х
Первая буква фамилии
студента
студента

Номер задачи в каждой	15		16		17		18		19		20		21
теме	15		16		17		18		19		20		21
теме


Первая буква фамилии		Ц		Ч		Ш		Щ		Э		Ю		Я
Первая буква фамилии
студента
студента

Номер задачи в каждой	22		23		24		25		26		27		28
теме	22		23		24		25		26		27		28
теме

РАБОТЫ, ВЫПОЛНЕННЫЕ БЕЗ СОБЛЮДЕНИЯ ЭТИХ ПРАВИЛ, К ЗАЧЕТУ НЕ

ПРИНИМАЮТСЯ И ВОЗВРАЩАЮТСЯ БЕЗ РЕЦЕНЗИРОВАНИЯ ДЛЯ

ПЕРЕРАБОТКИ.

Тема 1. Функции одной переменной. Предел функции

Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов

нахождения пределов различных видов.

Определение 1. Число А

называется

пределом

функции

y f x

при

стремящимся

бесконечности

( x ), если для любого,

сколь угодно

малого

положительного

числа 0 , найдется такое положительное число

S 0 (зависящее от ;

S S( ) ), что для всех x таких, что

S , верно неравенство:

f x A

Этот предел обозначается lim f x A .

Определение 2. Число А

называется

пределом

функции

y f x

при

стремящимся к x0

или в точке x0

( x x0 ), если для любого, даже сколь угодно малого

положительного

числа 0 , найдется такое положительное число 0 (зависящее от ;

( ) ), что для всех x , не равных

x0 ( x x0 ) и удовлетворяющих условию

x x0

выполняется неравенство:

f x A

Этот предел обозначается lim f x A .

x x0

Рассмотрим предел: lim

3x 5

, он состоит из трех частей:

x 7

x 1

1)значка предела lim ;

2)записи под значком предела: x 7. Запись читается «икс стремится к семи». В

практических заданиях на месте семи может находиться совершенно любое число, а

также бесконечность ( );

3)функции под знаком предела, в данном случае 3x 5 .

Сама запись lim

3x 5

читается так: «предел функции

3x 5

при икс стремящемся к семи».

x 7

x 1

Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто

подставить число семь в функцию, стоящую под знаком предела: lim

3x 5

3 7 5

x 7

x 1

7 5

12 6

поскольку в точке x 7 , функция, стоящая под знаком предела непрерывна и предел равен значению функции в этой точке (так как это значение существует).

Итак, первое правило: когда дан предел, сначала просто вместо x подставить число, к

которому x стремится и найти значение функции при этом x . Если получилось число,

то предел будет равен полученному числу. Если получились выражения (неопределенности)

типа 0 или0

		, то необходимо произвести тождественные преобразования выражения,

стоящего под знаком предела, чтобы избавиться от этих неопределенностей.

При этом можно использовать основные правила вычисления пределов. Пусть

существуют lim f (x) A и lim g(x) B . Тогда
x x0	x x0

1)	lim ( f (x) g(x)) lim						f (x)
	x x0			x x0
2)	lim ( f (x) g(x)) lim				f (x) lim
	x x0		x x0				x x0
		f (x)	lim f (x)			A
3)	lim	f (x)	x x0			A	; lim
3)	lim	g(x)	lim g(x)			B	; lim
	x x0	g(x)	lim g(x)			B	x x0
			x x0

lim g(x) A B .

x x0

g(x) A B .

g(x) 0.

lim c f (x) c lim

f (x) c A , где с – постоянный множитель, с = const.

x x0

lim g ( x)

lim ( f (x))

g ( x)

x x0

lim ( f (x))

lim

f (x)

lim

f (x) ,

x x0

lim c c,

г де c const

x x0

первый замечательный предел:

lim

sin x

x 0

Следствия из первого замечательного предела:

lim

sin x

x 0

sin x

x 0

lim

sin x

lim

sin x

lim

sin x

x 0

x 0 x

lim

tg x

x 0

, где α = const.

lim 1

lim(1 x) x

второй замечательный предел:

x 0

е2,7182… или е 2,7

9)пределы бесконечно больших и малых функций

х х бесконечно большая величина
	х бесконечно малая величина
х 0		.
Если
f (x) f (x) бесконечно большая функция

f (x) 0 f (x) бесконечно малая функция

lim

lim x 0

x 0

x x

lim x

lim

x 0

10) эквивалентные бесконечно малые функции

Если

x 0, f

x 0, g x 0, f x

x , g x

, тогда lim

lim

x 0

sin x ~ x

ex 1~ x

tgx ~ x

a x 1 ~ x

acrsin x ~ x

ln(1+ x) ~

arctgx ~ x

ln a

~ mx

1 x

1-cosx ~

Решение типовых примеров.

Задача 1. Вычислить предел: lim

sin 3x tg 7x

x 0

При

подстановке

в выражение

sin 3x tg 7x

x 0

под

знаком

предела

получаем

e3x2 1

неопределенность вида . Используя эквивалентные

получаем: sin3x ~ 3x, tg7x ~ 7x, e3x2 1~ 3x2. Тогда

lim

sin 3x tg 7x

lim

3x 7x

lim

3x 7x

3x2

x 0

Задача 2. Вычислить предел: lim

sin x 1

x 1

При подстановке

выражение

sin x 1

x 1

под

x2 x

неопределенность

вида

Используя

эквивалентные

получаем: sin(x-1) ~ (x-1), так как x 1 0 . Тогда

lim

sin x 1

lim

x 1

lim

x 1

x 1 x x 1

x 1 x

Задача 3. Вычислить предел: lim

2x2 3x 9

7x 12

x 3

бесконечно малые функции,

знаком предела получаем

бесконечно малые функции,

При подстановке

выражение

2x2 3x 9

x 3

под

знаком предела

получаем

7x 12

неопределенность вида

. Значит,

функция f x

2x2 3x 9

не определена в точке

x 3. Произведем

тождественные

преобразования выражения, стоящего под знаком

предела, не принимая во внимание его поведения в предельной точке.

В числителе и знаменателе

2x2

3x 9

находятся

квадратные трехчлены.

Разложим

x2 7x 12

квадратные трехчлены, входящие в числитель и знаменатель, на линейные множители по

формуле:

ax2 bx c a x x

x x

где

х1

и х2

–

корни квадратного уравнения

ax2 bx c 0 .

Разложим трехчлен 2x2 3x 9 на множители. Для этого:

1. Решим уравнение 2x2 3x 9 0

a 2 , b 3, c 9

D b2 4ac ;

D 3 2 4 2 9 81

3 9

b D

x 3; x

1,2

2 2

Воспользуемся

формулой

разложения

квадратного

трехчлена на множители:

ax2 bx c a x x x x

3x 9 2 x 3 x

2 x

Аналогично разложим трехчлен, стоящий в знаменателе на множители:

x2 7x 12 x 3 x 4

Преобразуем данный предел:

2 x

3 x

2 x

3x 9

2x 3

2 3 3

lim

x2 7x

x 3 x 4

x 4

x 3

Ответ: lim

2x2 3x 9

x 3

Задача 4.

Вычислить предел lim

43 x 4

x 1

lim

x 4

43 1 4

4 4

x 1

1 1

0 0

2. Для раскрытия неопределенности	0	разложим знаменатель по формуле разности


	0

кубов: a3 b3 a b a2

ab b2 .

x 1 3

3 13

1 3

1 , а в числителе вынесем общий множитель.

4 3

lim

x 4

lim

x 1

1 3 x2 3

x 1 3 x2 3

3 12 3

1 1 1 3

Ответ: lim

43 x 4

3 .

x 1

Задача 5. Вычислить предел lim

cos 3x tg5x

x 0

sin(3,5x)

lim

cos 3x tg5x

cos(3 0) tg(5 0)

1 0

x 0

sin(3,5x)

sin(3,5 0)

Для раскрытия неопределенности вида

в данном примере воспользуемся первым

lim

sin u

lim

tg u

замечательным пределом и одним из его следствий: u 0

u 0 u

cos 3x tg5x

tg5x

3,5x

lim

lim cos 3x

sin(3,5x)

3,5x

x 0

4.Заменим предел произведения функций произведением пределов этих функций и вынесем постоянный множитель:

tg5x

3,5x

tg5x

3,5x

limcos 3x

lim cos 3x lim

lim

1 1 1

5x sin(3,5x)

3,5x

x 0 5x

3,5

x 0

x 0 sin(3,5x)

lim

cos 3x tg5x

sin(3,5x)

Ответ:

x 0

Задача 6.

Вычислить предел lim x3

x 100 .

Опять начинаем увеличивать x до бесконечности, и смотрим на поведение функции: она

растет. Поэтому lim x3 x2 x 100 .

Запомните следующие пределы:

1. lim	1	0 .	2. lim x .

x x			x

3. lim x 0 .

x 0

Пределы с неопределенностью вида и метод их решения.

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Subj

#
24.03.2015123.23 Кб91030-Правоведение (сборник контрольных заданий).pdf
#
24.03.2015208.94 Кб111032-Психология.pdf
#
24.03.20151.05 Mб241061-Интернет-технологии.pdf
#
24.03.2015377.19 Кб471062-Математика.pdf
#
24.03.20151.31 Mб241063-Математика.pdf
#
24.03.20153.56 Mб271064-Офисные технологии обработки информации.pdf
#
24.03.2015501.17 Кб44110-Экономическая теория (Микроэкономика).pdf
#
24.03.2015220.29 Кб91130-Психология_2012.pdf
#
24.03.2015392.85 Кб91143-Trade Unions new.pdf
#
24.03.2015276.84 Кб13117-Основы социального государства.pdf