Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Академия труда и социальных отношений Федерации Независимых Профсоюзов России

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1063-Математика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.03.2015

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Рассмотрим группу пределов, когда			x ,	а функция	представляет			собой дробь, в
числителе и знаменателе которой находятся многочлены
Задача 7. Вычислить предел lim		3x2	2
Задача 7. Вычислить предел lim
	x 4x3 2x 2
Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у
нас получается	в числителе? Бесконечность.			А что получается		в	знаменателе?		Тоже
бесконечность.	Таким образом, имеем неопределенность				вида			Учитывая,	что
бесконечность.	Таким образом, имеем неопределенность				вида		.	Учитывая,	что

поведение числителя

и знаменателя при

x определяется

членами с

наибольшими

показателями степеней ( 3x2

в числителе и

4x3

в знаменателе), то для решения подобных

примеров надо разделить числитель и знаменатель на старшую степень числителя и

знаменателя, в нашем случае x3 . Получим:

3x2

lim

0 0

lim

x x

x x3

x 4x

2x 2

x 4x

2x 2 x

4 0 0 4

lim 4 lim

lim

x3 x3 x3

x x2

x x3

т.к. lim

lim

0; lim

х х

х х3

lim

3x2 2

Ответ:

x 4x3 2x 2

Тема 2. Производная и дифференциал функции

Произво́дная (функции в точке) – основное понятие дифференциального исчисления,

характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс нахождения производной называется дифференци́рованием.

Обозначения: y или dy .

При вычислении производных используют таблицу производных и правила дифференцирования.

Правила дифференцирования

Пусть u = u(x) и v = v(х) – дифференцируемые функции в точке х = х0, тогда существуют производные от суммы, разности, произведения, частного этих функций в заданной х0.

Замечание: производная постоянной равна нулю С = 0

u v u v

А.

u v

; v 0.

Г.

Б. u v

u v uv

c v

; v

В.

c v

Д.

Таблица производных основных элементарных функций

№

y = f(х)

y = f (x)

№

y = f(х)

y = f (x)

y С

С 0

y sin x

cos x

sin x

y x

x 1

y cos x

sin x

cos x

a 1

y tgx

y x

tgx

cos2 x

y x

(

x )

y сtgx

сtgx

2 x

sin2 x

y arcsin x

arcsin x

1 x

y a

ax ax ln a

y arccos x

arccos x

№

y = f(х)

y = f (x)

y е

еx

y loga x

loga x

x ln a

y ln x

ln x

Задача 1. Найти производную y 2x .

Решение.
		1		1

y' 2 x 2	x 2					.


		2	x		x

№

y = f(х)

y = f (x)

y arctgx

arctgx

1 x 2

y arcctgx

arcctgx

1 x2

В данном решении используем правило дифференцирования В и формулу 4.

Задача 2. Найти производную функции y 6x2 2 cos x ex .

Решение.

y' 6x

2cos x e

6 2x 2sin x e

12x 2sin x e

2cos x e

В данном решении используем правила дифференцирования А, В и формулы 3, 7 и 11.

Задача 3. Найти производную функции y

x tgx

arcsin x

Решение.

x tgx

x tgx arcsin x arcsin x

arcsin x 2

arcsin

x tgx x tgx arcsin x

x tgx

1 tgx x

arcsin x

x tgx

1 x2

cos2

arcsin x 2

Вданном решении используем правила дифференцирования Б, Г и формулы 2, 12, 14.

Взадаче 3 видно, что производная функции может получиться достаточно громоздкой и не всегда целесообразно упрощать полученный результат.

Производная сложной функции

Пусть у = f(u), а u = (х), тогда у = f( (х)) – сложная функция, ее производная находится по правилу дифференцирования сложной функции. Если каждая из функций у = f(u) и u = (х) дифференцируема по своему аргументу, то

Правило дифференцирования сложной функции: Е. u v u v v

Обратите внимание на запись u v . Здесь у нас две функции u и v , причем функция v , образно говоря, вложена в функцию u . Функция такого вида (когда одна функция

вложена в другую) и называется сложной функцией.

Задача 4. Найти производную функции y cos 2x 4

Решение:

Под косинусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение 2x 4 ,

поэтому найти производную сразу по таблице производных основных элементарных

функций не получится.

В данном примере функция y cos 2x 4 – это сложная функция, причем многочлен2x 4 является внутренней функцией (вложением), а cos 2x 4 – внешней функцией.

Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней. После этого необходимо применить правило дифференцирования сложной функции (правило Е).

Начинаем решать: y cos 2x 4

Сначала находим производную внешней функции u v (косинуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций правило №11 и замечаем, что cos x sin x . Все

табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением, в данном случае: u v sin 2x 4

Обратите внимание, что внутренняя функция 2x 4 не изменилась, еѐ мы не трогаем.


Ну и совершенно очевидно, что v 2x 4 .
Результат применения формулы		u v v в чистовом оформлении выглядит так:
	u v

y cos 2x 4 sin 2x 4 2x 4

Далее мы берем производную внутренней функции, она очень простая:

y cos 2x 4 sin 2x 4 2x 4 sin 2x 4 2 0 2sin 2x 4

Таблица производных основных сложных функций

№

y = f(u),

у = f (u) u

u = (х)

y ua

y a ua 1 u

y u

	№	y = f(u),		у = f (u) u
	№	u = (х)		у = f (u) u
		u = (х)

2.		y cos u		y sin u u

4.		y tgu	1

				у cos2 u u
				у cos2 u u

№

y = f(u),

у = f (u) u

u = (х)

y au

y au ln a u

y eu

y eu u

11.

y loga u

u ln a

13.

y ln u

u u

15.

y sin u

y cos u u

№

y = f(u),

у = f (u) u

u = (х)

y ctgu

у sin2 u u

y arcsin u

1 u2

10.

y arccos u

1 u2

12.

y arctgu

1 u2 u

14.

y arcctgu

1 u2

Решение типовых примеров

Задача 5. Найти производную функций у (3х5

х7 8)3 .

Решение.

y u3

Пусть u 3x5

x7 8

, тогда

По правилу дифференцирования сложной функции

имеем

y (u3 ) 3 u2 u 3 (3x5 4 x7 8)2 (3x5 4

x7 8)

3 (3x5

4 x7

8)2 15x4 4

x 2

(3x5

8)2 (15x4 14 x5 )

y 3 (3x5

Итак,

4 x7

8)2

(15x4 14

x5 )

В данном решении используем правило дифференцирования (Е) и формулы 3, 24, 15.

cos 5x

Задача 6. Найти производную функции

1 3x4 .

Решение.

cos 5x

1 3x

1 3x4

Пусть u

cos v

v 5x

, v

1 3x4 , тогда

cos 5x

sin 5x 5x sin 5x 5 5sin 5x и

6x3

1 3x4

3 4x3

2 1 3x4

1 3x4

6x3

5sin 5x

1 3x4

cos 5x

5sin 5x 1 3

6x3 cos 5x

отсюда:

3x4

1 3x4

Итак,

6x3 cos 5x 5sin 5x(1 3x4 )

( 1 3x4 )3

Задача 7. Найти производную функции y 4tgx sin 7x;

y ?

Решение.

Применим правило дифференцирования произведения.

sin 7x

4tgx (sin 7x)

y 4tgx sin 7x

4tgx

tgx u 4tgx

4u ;

tgx

)

ln 4

u ;

)

ln 4 (tgx)

ln 4

; (sin 7x)

7 cos 7x

cos 2

4tgx ln 4

sin 7x 4tgx 7 cos 7x

cos

Задача 8. Найти производную функции у = ln(arcsin8x); y =?

Решение.

Пусть y=lnu; где u=arcsin8x. Тогда

ln u

u u

u arcsin 8x

(8x)

;

(8x)2

1 64x2

ln arcsin 8x arcsin 8x

arcsin 8x

1 64x2

Задача 9. Найти производную функции y ecos x .

Решение.

y e

cos x

sin x e

cosx

В данном решении используем правило дифференцирования сложной функции и формулы

22, 11.

Задача 10. Найти производную функции y ln arccos x .

Решение.

ln arccos x

arccos x

1 x2

arccos x

1 x

В данном решении используем правило дифференцирования (Е) и формулы 24, 15.

Задача 11. Найдите производную функции y ctg 2 3x e2 x .

Решение.

y ctg

ctg

2ctg 3x ctg 3x

ctg

2 x

2ctg 3x

ctg

3x 2ctg 3x

3 e

ctg

3x.

sin

В данном решении используем правила дифференцирования Б, В и Е и формулы 18, 22, 28,

13, 1

x3 x

Задача 12. Найдите производную функции y ctg arcsin

Решение.

x3 x

arcsin

x3 x

sin

2 arcsin

sin

2 arcsin

x e

ex 2

x3 x

sin

arcsin

1 e e

x x

x3 x

ex 2

sin

arcsin

В данном решении используем правила дифференцирования Г и Е и формулы 28, 29, 3 и 7.

Тема 3. Неопределенный интеграл

1. Понятия первообразной и неопределенного интеграла.

Функция F x называется первообразной для функции f x , если F x f x .

Множество всех первообразных функции f x задается формулой F(x)+C, где С –

постоянное число, и называется неопределенным интегралом от функции f x :

f x dx F x C .

– знак неопределенного интеграла;

f(x) – подынтегральная функция; f(x)dx – подынтегральное выражение;

х – переменная интегрирования;

dx – дифференциал переменной интегрирования;

F(х) – первообразная для функции f(x);

F(x)+C – множество (семейство) всех первообразных для функции f(x) ;

С= const – произвольная постоянная.

2.Свойства неопределенного интеграла.

1)производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

f (x)dx f (x)

2) дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению d f (x)dx f (x)dx

3)неопределенный интеграл дифференциала функции равен самой функции с точностью до произвольной постоянной

dF(x) F(x) C

4)постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

k f (x)dx k f (x)dx ,

где k – постоянная, отличная от нуля.

5)интеграл алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций.

f1 (x) f2 (x) dx f1 (x)dx f2 (x)dx

6) если f (x)dx F(x) C и х=φ(u) - некоторая функция, имеющая непрерывную

производную, то

f ( (u))d (u) F( (u)) C

3.Таблица основных дифференциалов функции

df(x) = f (x)dx	f (x)dx = df(x)

dx d(x b)

dx a d (ax b)

dx d ln х

d (ax)

cos xdx d sin x

sin xdx d cos x

dx d tgx

xdx d

cos

x 1

x dx d

dx 1

ax dx d

dax

ln a ln a

dx d arcsin x

x 2 dx d( x ) d( x )

1 x 2

dx d( ctgx ) dctgx

dx d arctgx

sin2 x

1 x2

ex dx dex

adx d(ax)

4 Таблица интегралов.

№

f (x)dx F(x) C

F (x) f (x)

0dx

C 0

dx x C

(x C) 1

xdx

x dx

x 1

, α ≠ -1

x 1

a x

a x ln a

a dx

a x

ln a

e dx e C

№

f (x)dx F(x) C

f (x)

F (x)

sin xdx cos x C

sin x

cos x

cos xdx sin x C

cos x

sin x

ctgx

sin 2

x ctgx C

sin 2 x

10.

tgx

cos

2 x tgx C

cos 2 x

11.

arcsin x C

arcsin x

1 x2

12.

arccos x C

1 x

arccos x

13.

arcsin

arctg x C

arctgx

1 x

14.

1 x2

arcctg x C

arcctgx

1 x2

15.

arсrс

arctg

x2 a2

16.

x2 a

17.

x a

5. Основные методы интегрирования.

Идея всех методов интегрирования заключается в приведении искомого интеграла к табличному интегралу или сумме табличных интегралов.

НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ.

Данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции,

применение свойств неопределенного интеграла приводится к табличному интегралу.

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Subj

#
24.03.2015123 Кб321030-Правоведение (сборник контрольных заданий).pdf
#
24.03.2015209 Кб331032-Психология.pdf
#
24.03.20151 Мб461061-Интернет-технологии.pdf
#
24.03.2015377 Кб731062-Математика.pdf
#
24.03.20151 Мб471063-Математика.pdf
#
24.03.20154 Мб491064-Офисные технологии обработки информации.pdf
#
24.03.2015501 Кб67110-Экономическая теория (Микроэкономика).pdf
#
24.03.2015220 Кб311130-Психология_2012.pdf
#
24.03.2015393 Кб311143-Trade Unions new.pdf
#
24.03.2015277 Кб35117-Основы социального государства.pdf