- •Общие указания
- •Тема 1. Действия с матрицами
- •Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Дана неоднородная линейная система из 3-х уравнений с 4-мя неизвестными (m=3, n=4). Выпишем матрицы системы линейных уравнений:
- •1) определим, совместна или нет система.
- •Вычислим для этого ранги расширенной и основной матриц системы: Rang(A,B) и RangA. привели матрицу (A,B) к матрице (A' ,B'), имеющую ступенчатую форму:
- •Rang(A', B') = Rang(A,B)= RangA= 2. Следовательно, система совместна.
- •2) Т.к. Rang A< n (n = 4), то система имеет бесконечное множество решений. Найдем все решения системы. Для этого перейдем к следующей эквивалентной системе, используя коэффициенты уравнений расширенной матрицы ступенчатового вида (A', B').
- •Тогда х3 и х4- свободные неизвестные и можно считать х3 = а , х4 = b, где a и b – произвольные числа.
- •Замечание: после решения системы линейных уравнений необходимо сделать проверку. Проверка делается подстановкой в исходную систему линейных уравнений общее решение системы.
- •Ответ:
- •Тема 3. Скалярное произведение векторов
- •Тема 4. Уравнения прямой на плоскости
- •Список литературы
- •Приложение 1
- •Индивидуальные задачи
- •Тема 1. Действия с матрицами
- •Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Тема 3. Скалярное произведение векторов
- •Тема 4. Уравнения прямой на плоскости
- •Приложение 2
Список литературы
1.Высшая математика для экономистов: учеб. для вузов / под ред. Н.Ш. Кремера. - 3-е изд. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2009. - 480 с. - (Золотой фонд российских учебников)
2.Практикум по высшей математике для экономистов: учеб. пособие для вузов / под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2005. - 423 с.
3.Григулецкий В.Г. Высшая математика для экономистов: учеб. пособие для вузов / В.Г. Григулецкий, З.В. Ященко. - Ростов-на-Дону: Феникс, 2004. - 640 с. - (Высшее образование)
4.Линьков В.М. Высшая математика в примерах и задачах: компьютерный практикум:
учеб. пособие для вузов / В.М. Линьков, Н.Н. Яремко ; под ред. А.А. Емельянова. - М.: Финансы и статистика, 2006. - 320 с.
Приложение 1
Индивидуальные задачи
Тема 1. Действия с матрицами
Задача 1. В вариантах 1-10 найти значение выражения 3BA + CB; в вариантах 11-20 найти значение выражения BA + 2CB; в вариантах 21-28 найти значение выражения 2BA – CB.
1. |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
−1 0 |
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|||||||
|
А= |
|
0 1 |
3 |
|
B = |
|
C |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
, |
|
|
|
, |
= |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. |
|
|
5 |
2 |
1 |
|
|
0 3 |
−2 |
|
|
|
5 |
2 |
|
|
|
|||||||
|
А= |
|
3 |
−1 4 |
|
|
|
C |
= |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
, |
B = |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
7 |
0 |
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
|
|
1 |
|
−4 |
|
|
3 |
|
3 |
−1 2 |
|
|
1 |
−4 |
|
||||||||
|
А= |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
−2 , |
B = |
|
|
|
|
, C = |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
−5 |
|
4 |
|
|
0 |
|
|
−1 |
|
|
|
3 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
|
|
1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
1 −1 |
4 |
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|||||
|
А= |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
−2 , |
B = |
|
|
, C = |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
4 |
|
0 |
|
|
|
2 1 0 |
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
|
|
2 |
|
2 |
1 |
|
|
3 0 |
−2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
||||||
|
А= |
|
1 |
|
3 |
1 |
|
B |
= |
C = |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
, |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
−1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
1 1 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6. |
|
|
0 |
|
−2 |
|
|
−2 |
|
−1 |
0 −2 |
|
|
|
0 |
−2 |
||||||||
|
А= |
|
−5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
4 , |
B = |
|
|
|
|
, |
C = |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
5 |
|
|
1 |
|
|
|
−5 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7. |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
−1 |
|
3 |
0 0 |
|
|
|
1 1 |
|
|
|||||||
|
А= |
|
7 |
|
−4 |
|
|
|
|
B |
C |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
3 , |
= |
|
|
|
, |
= |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 3 |
|
|
|
|
7 |
−4 |
|
|
|
||||
|
|
|
−5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8. |
|
|
3 |
2 |
5 |
|
|
|
|
2 −3 |
0 |
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
||||
|
А= |
|
|
|
|
|
|
|
C = |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
5 7 3 , |
|
B = |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
5 |
7 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. |
|
|
1 |
3 |
7 |
|
|
3 1 |
2 |
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
||||||
|
А= |
|
2 |
7 |
|
|
|
|
|
C |
= |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 , |
B = |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 −1 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
−2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10. |
|
|
7 |
|
−2 |
|
|
2 |
|
|
−1 |
2 1 |
|
|
|
7 |
−2 |
|
|
|
||||
|
А= |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
C = |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
3 , |
B = |
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
−5 |
|
9 |
|
|
3 |
|
|
|
0 |
1 1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11. |
|
|
1 |
9 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
2 −3 |
|
1 |
|
9 |
|||||
|
А= |
|
1 |
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|||||||||
|
|
−4 1 , |
= |
|
|
|
|
, |
C = |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
−1 2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
12. |
|
|
1 |
2 |
|
|
0 |
|
|
|
1 −3 4 |
|
1 |
2 |
|||||||
|
А= |
|
3 |
7 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|||||||||
|
|
|
|
5 , B |
|
|
|
, C = |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||
|
|
|
−5 |
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 1 0 |
|
|
7 |
||||||
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
13. |
|
|
5 |
−1 |
|
0 |
|
|
1 |
3 2 |
|
|
5 −1 |
||||||||
|
А= |
|
2 |
−1 1 |
|
B = |
C |
||||||||||||||
|
|
|
, |
|
|
|
, |
= |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
−5 |
3 |
|
0 |
|
|
|
0 |
1 2 |
|
|
2 −1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
14. |
|
|
0 |
1 |
|
−2 |
|
|
4 |
0 1 |
|
0 |
1 |
||||||||
|
А= |
|
−2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
9 , |
B = |
|
|
|
, |
C = |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
−1 2 |
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
4 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
15. |
|
|
3 |
7 |
|
5 |
|
|
|
1 |
|
−1 1 |
|
3 |
|
7 |
|||||
|
А= |
|
3 |
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|||||||||
|
|
−4 0 , |
= |
|
|
|
, C = |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
3 |
−4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
16. |
|
|
1 |
7 |
|
1 |
|
|
|
−1 1 |
0 |
|
|
1 7 |
|||||||
|
А= |
|
4 |
|
|
|
|
|
B |
C |
|||||||||||
|
|
1 2 , |
= |
|
|
|
, |
= |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
−5 |
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 5 |
|
|
4 1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
17. |
|
|
2 |
2 |
3 |
|
|
|
|
−5 |
|
−1 1 |
|
2 |
2 |
|
|||||
|
А= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
||||||||
|
|
1 2 3 , |
B = |
|
|
|
, |
= |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
2 1 |
|
1 |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
18. |
|
|
3 |
2 |
|
−2 |
|
|
0 |
−2 1 |
|
3 |
2 |
||||||||
|
А= |
|
3 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
−1 , |
B = |
|
|
|
, C = |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
|
|
|
|
3 |
|
||
|
|
|
1 |
1 |
|
−1 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
−2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
19. |
|
|
0 |
2 |
|
5 |
|
|
−1 2 |
−1 |
|
0 |
2 |
||||||||
|
А= |
|
7 |
9 |
|
|
|
B = |
|
||||||||||||
|
|
|
3 , |
|
|
|
|
, |
C = |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 1 |
|
|
|
7 |
|
|||||
|
|
|
−1 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
20. |
|
|
6 |
−5 |
|
3 |
|
|
1 |
0 1 |
|
6 |
|
−5 |
|||||||
|
А= |
|
−1 7 |
|
|
|
|
B = |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
5 , |
|
|
|
, C = |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
4 |
|
1 |
|
|
|
3 |
−1 |
|
−1 |
7 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
21. |
|
|
4 |
1 |
|
−2 |
|
|
1 3 |
−2 |
|
4 |
1 |
||||||||
|
А= |
|
2 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
0 , |
B = |
|
|
|
, C = |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 0 |
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
3 |
1 |
|
−2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
−3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
22. |
|
|
1 |
2 |
|
4 |
|
|
|
3 |
|
1 1 |
|
|
1 2 |
||||||
|
А= |
|
|
|
|
|
|
B |
|
C |
|||||||||||
|
|
−1 7 0 , |
= |
|
|
|
, |
= |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
3 |
|
|
|
|
|
0 |
|
−3 1 |
|
−1 7 |
|
||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
23. |
|
|
2 |
1 |
|
−1 |
|
|
2 |
− 2 1 |
|
2 |
1 |
||||||||
|
А= |
|
2 |
|
|
|
|
|
B = |
|
|||||||||||
|
|
−3 0 , |
|
|
|
|
, C |
= |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
−1 |
|
2 |
−3 |
||||||
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
24. |
|
|
2 |
|
7 |
5 |
|
−1 |
2 −1 |
|
|
|
2 |
|
7 |
||||||
|
А= |
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
||||||||||
|
|
|
−4 0 , |
B = |
|
|
|
, C |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
0 2 |
|
|
|
|
−3 |
−4 |
|
||||
|
|
|
−2 |
|
2 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
25. |
|
|
1 |
2 |
−3 |
|
2 2 |
−1 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
А= |
|
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
4 , |
B = |
|
|
|
, C = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
26. |
|
|
4 |
1 |
2 |
|
1 |
−1 1 |
|
|
|
4 1 |
|
|
|||||||
|
А= |
|
0 |
2 |
7 |
|
|
|
= |
|
|
||||||||||
|
|
, |
B = |
|
|
|
, C |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−2 |
|
|
|
|
|
0 2 |
|
|
|
||
|
|
|
5 |
−2 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
27. |
|
|
1 |
|
4 |
2 |
|
4 |
2 0 |
|
1 |
4 |
|
||||||||
|
А= |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
−2 1 , |
B = |
|
|
|
, C |
= |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
−1 |
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|||
|
|
|
−3 |
|
−4 |
0 |
|
|
|
−1 |
|
7 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
28. |
|
|
1 |
|
2 |
0 |
|
0 |
1 3 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|||||
|
А= |
|
3 |
|
2 |
|
B = |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
3 , |
|
|
|
, |
C = |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
−5 |
|
−1 |
|
|
−1 |
2 0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
