Rang(A', B') = Rang(A,B)= RangA= 2. Следовательно, система совместна.

2) Т.к. Rang A< n (n = 4), то система имеет бесконечное множество решений. Найдем все решения системы. Для этого перейдем к следующей эквивалентной системе, используя коэффициенты уравнений расширенной матрицы ступенчатового вида (A', B').

Тогда х3 и х4- свободные неизвестные и можно считать х3 = а , х4 = b, где a и b – произвольные числа.

Решая эту систему из 2-х уравнений с 2-мя неизвестными х1 и х2 , найдем их:

x1 +2x2 +3а−b = 4,−5x2 −4a +3b = −5.

Тогда из первого уравнения найдем:

x1 = −2(− 54 a + 53 b +1) −3а +b + 4 = 2 − 75 a − 15 b

3) найдем базисное решение СЛУ из общего решения:

Базисным решением называется частное решение, получающееся из общего при нулевых значениях всех свободных переменных.

Пусть x3 = 0, x4 = 0 тогда x1 = 2 x2 =1. Базисное решение имеет вид (2; 1; 0; 0).

4) найдем частное решение системы из общего решения:

Например, а=1, b = 1, тогда имеем

Замечание: после решения системы линейных уравнений необходимо сделать проверку. Проверка делается подстановкой в исходную систему линейных уравнений общее решение системы.

Ответ:

− базисное решение (2; 1; 0; 0).

Тема 3. Скалярное произведение векторов

Линейные операции над векторами в координатной форме

Если

a = (x1, y1, z1 ) и b = (x2 , y2 , z2 )

Тогда

a ±b = (x1 ± x2 ; y1 ± y2 ; z1 ± z2 )

λa = (λx1;λy1;λz1 )

Направление вектора определяется углами α, β, γ, образованными с осями координат Ox, Oy, Oz. Косинусы этих углов определяются по формулам:

cosα = xa1 cos β = ya1 cosγ = za1

Если a = (x1, y1, z1 ), b = (x2 , y2 , z2 )

a b = x1x2 + y1 y2 + z1z2

cos(a,b) = a b a b

Опр. Проекцией или скалярной проекцией вектора a на вектор b называется число,

равное прb a = a b b

Опр. Векторным произведением двух векторов a и b называется такой третий вектор с

, который удовлетворяет следующим трем условиям:

1)c a и c b

2)с = a b sin(a,b)

3)векторыa, b, c образуют правую тройку.

Задача 3. Даны векторы a = (15;−6;−5) b = (20; 3;16). Найти:

1)a (b −a);

2)a ;

3)cos a, с , если c = 2a +b ;

4)cos β для a ;

5)a +b ;

6)прb a .

Решение

1) вычислим a (b −a).

Разность двух векторовопределяется по формуле: a −b = (x1 − x2 ; y1 − y2 ; z1 − z2 ).

двух векторов определяется по формуле: a b = x1x2 + y1 y2 + z1z2 .

Тогда a (b −a)=15 5 +(−6) 9 +(−5) 21 = −84.

2) вычислим a .

3)вычислим cos a, с , если c = 2a +b .