4) вычислим cos β для a . Направление вектора определяется углами α, β, γ, образованными с осями координат Ox, Oy, Oz. Косинус угла β определяются по формуле: cos β = ya1 .

Тема 4. Уравнения прямой на плоскости

Опр. Всякий ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой, называется ее направляющим вектором.

Опр. Если вектор n перпендикулярен направляющему вектору апрямой l, то он называется

нормальным вектором прямой l.

1)каноническое уравнениями прямой, проходящей через точку М0(x0, y0) и имеющей направляющий вектор а = (а1, а2 ):

2) уравнение прямой, проходящей через две точки М0(x0, y0) и М1(x1, y1):

3)общее уравнение прямой на плоскости. Вектор a = (−B, A)является направляющим вектором прямой, а вектор n = (А, В) является нормальным вектором прямой, заданной

общим уравнением:

4) уравнением прямой, проходящей через точку М0(x0, y0) перпендикулярно вектору

n = (А, В):

5)расстояние d от точки М0(x0, y0) до прямой, заданной общим уравнением вычисляется формулой:

7) координаты точки М(x, y), делящей отрезок М1М2 пополам вычисляется по формуле:

векторыn1 = (A1, B1 ) иn2 = (A2 , B2 ) ортогональны, т.е. A1 A2 + B1 B2 = 0 .

9)условие параллельности прямых: прямые l1 и l2 параллельны, если их направляющие векторыa = (−B1, A1 ) иb = (−B2 , A2 ) коллинеарны, т.е. координаты этих векторов

пропорциональны: А1 = В1 .

А2 В2

Задача 4. Известны координаты вершин треугольника ABC: A(4; 3); B(-3; –3); C(2; 7). Найти:

1)общее уравнение всех сторон;

2)уравнение всех высот в общем виде (AN1, BN2, CN3);

3)уравнение всех медиан в общем виде (AM1, BM2, CM3);

4)расстояние от точки C до прямой AB;

5)уравнение прямой CC1, проходящей параллельно AB;

6)длину стороны AB;

7)длину медианы AM1;

8)длину высоты AN1;

9)площадь треугольника ABC.

Решение.

1) Найдем общее уравнение всех сторон.

Найдем уравнение стороны AB как уравнение прямой, проходящей через две точки A(4; 3) и B(-3; –3) согласно формуле (2):

М0(x0, y0) перпендикулярно нормальному векторуn = (А, В). Так как прямая проходящая через точку А(4, 3) перпендикулярно нормальному вектору BC = (5,10), то уравнение данной прямой будет иметь вид:

5(x − 4) +10(y −3)= 0 5x − 20 +10y −30 = 0 5x +10y −50 = 0 x + 2y −10 = 0 .

Найдем общее уравнение высоты BN2 как уравнением прямой, проходящей через точку через точку B(-3, -3) перпендикулярно нормальному вектору AC = (−2,4), то уравнение данной прямой будет иметь вид:

− 2(x +3) + 4(y +3)= 0 − 2x −6 + 4y +12 = 0 − 2x + 4y + 6 = 0 x − 2y −3 = 0 .

Найдем общее уравнение высоты CN3 как уравнением прямой, проходящей через точку через точку C(2, 7) перпендикулярно нормальному вектору AB = (−7,−6), то уравнение данной прямой будет иметь вид:

−7(x − 2) −6(y −7)= 0 −7x +14 −6y + 42 = 0 −7x −6y +56 = 0 7x + 6y −56 = 0..

3)Найдем уравнение всех медиан в общем виде (AM1, BM2, CM3).

Чтобы найти уравнение медианы AM1, нужно найти координаты точки M1 - середины

Тогда х = 2 −2 3 = − 12 ; у = 7 −2 3 = 2 М1 (−0,5;2) .

СM2: 14x −3y −7 =0.

4) Найдем расстояние от точки C до прямой AB.

Расстояние от точки C(2; 7) до прямой AB, заданной общим уравнением 6x - 7y - 3 = 0

5) Найдем уравнение прямой CC1, проходящей параллельно AB.

Прямая СС1 проходит через точку C(2; 7) и параллельна AB, заданной общим уравнением 6x - 7y - 3 = 0. Таким образом, прямая CC1, заданная общим Ax + By + C = 0 и параллельна прямой AB, если ее коэффициенты при x и y пропорциональны (согласно условию

параллельности прямых), т.е. A6 = −B7 . Взяв A = 6, B = -7 (при коэффициенте

7) Найдем длину медианы AM1.

Длина медианы AM1 – это расстояние от точки А до точки М1 (−0,5;4) и находится по формуле (6): AМ1 = (−0,5 − 4)2 + (3 − 4)2 = 21,25.

8) Найдем длину высоты AN1.

Длина высоты AN1 – это расстояние от точки А(4;3) до прямой BC и вычисляется по

9)Найдем площадь треугольника ABC.

Площадь треугольника вычисляется по формуле: S∆ = 12 AB× AC

Имеем AB = (−7;−6;0), AC = (−2;4;0).