3.3. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов

Определение 3. 6.

Число, равное произведению длин двух векторов на косинус угла между ними называется скалярным произведением этих векторов. Для векторов и их скалярное произведение обозначается (,), или ^..

Таким образом, по определению

^. = ||^.|| cos.

Скалярное произведение обладает свойствами:

1. ^.= ^.;

2. ^.( +с) = ^. + ;

3. ^. = ||² = ² – скалярный квадрат; отсюда ;

4. ^. = ()^. = ^.();

5. ^.= 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов нулевой, либо когда векторы и ортогональны;

6. . Пользуясь этим свойством, получим

.

Заметим, что для ортонормированного базиса {i,j,k } пространства V³ справедливы следующие соотношения

,

.

Пусть в ДПСК, порожденной репером [O,i,j,k], заданы два вектора

и .

Используя перечисленные свойства скалярного произведения, получим для этих векторов:

^.= ^.=

+ =

= .

Таким образом, если векторы заданы своими координатами в ДПСК, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:

^.= .

Пользуясь этим правилом, можно записать в координатной форме

|| = (^.) = ,

= .

Учитывая эти формулы и следствие из свойства 6, находим:

,

т.е. в ДПСК координаты вектора равны его проекциям на соответствующие оси координат.

Для направляющих косинусов вектора а имеем

,

,

.

Рассмотрим орт а^о вектора а. Учитывая координаты вектора а,находим

а^о = .

Следовательно, направляющие косинусы вектора равны координатам его орта и наоборот, т.е. можно записать а^о = (cos, cos, cos).

Определение 3.7.

Упорядоченная тройка векторов а,b,c , совмещенных началами, называется правой тройкой, если из конца третьего векторас кратчайший поворот от первого вектораа ко второму векторуb виден осуществляющимся против часовой стрелки.

В противном случае тройка векторов называется левой. На рис.7а изображена правая тройка векторов, а на рис.7б – левая.

б)

Рис.7

а)

ДПСК, которой мы договорились пользоваться, строится на основе правой тройки (i,j,k).

Определение 3.8.

Векторным произведением векторов а и b называется векторv , удовлетворяющий свойствам:

а) ||= ||^.||^.sin,

б) вектор_v перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и ;

в) векторы , ,_v, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку

Векторное произведение обозначается  или [, ]. Векторное произведение обладает свойствами:

1) ,

2) ,

3) = () = ,

4) =0 ( 0, 0) тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. В частности, .

Для базисных векторов `i,`j,`k имеют место соотношения:

.

Пусть векторы заданы своими координатами:

и .

Используя перечисленные свойства, получим

= =

+ =

=

=

=.

Таким образом, через координаты перемножаемых векторов a = (a_x, a_y, a_z) и b = (b_x, b_y, b_z) векторное произведение может быть записано в виде символического определителя

.

или в виде координатной строки

=.

Рассмотрим параллелограмм ABCD, построенный на вектораха иb как на сторонах (рис. 8). Площадь этого параллелограмма равна

S_пар. = |AB|^.|AD|^.sin = ||^.||^.sin = ||.

Таким образом, с геометрической точки зрения, модуль векторного произведения двух неколлинеарных векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.

Определение 3.9.

Смешанным произведением векторова,b,с называется скалярное произведение вектора  на вектор с. Обозначается смешанное произведение ^.. или .

Таким образом, по определению, смешанное произведение трех векторов – это число, равное

^..= (,_с).

Свойства смешанного произведения:

1) ^.. = ^.. = ^.., т.е. при циклической перестановке множителей смешанное произведение не меняется;

2) ^.. = – ^.. = –^.. = –^.., т.е. смешанное произведение меняет знак при перестановке соседних множителей;

3) ^.. = 0 ( 0, 0, 0) тогда и только тогда, когда векторы a,b,c компланарны.

Если векторы a,b,c заданы своими координатами: a = ( а_x , a_y , a_z), b = (b_x , b_y , b_z), с = ( с_x , с_y , с_z),

то, используя координатную форму скалярного и векторного произведений, получим

^..= (,_с) = ^.( с_x , с_y , с_z) =

=

Следовательно, в координатной форме смешанное произведение имеет вид

^.. = .

Рассмотрим геометрическую интерпретацию смешанного произведения. Построим на вектораха,b,с как на ребрах параллелепипед (рис.9).

Объем этого параллелепипеда равен V = S_осн.^.Н . Но S_осн = ||, а высота Н равна Н = . Тогда

V = = |(,_с)| = = |^..|.

Таким образом, если векторыа, b, с некомпланарные, то объем V параллелепипеда, построенного на этих векторах, равен

V= |a ^.b ^.c |,

то есть абсолютной величине смешанного произведения этих векторов.

Наряду со смешанным произведением трех векторов, можно рассмотреть и произведение вида ( _с) – такое произведение называется двойным векторным произведением.

Двойное векторное произведение обладает свойством, которое связывает векторное произведение со скалярным произведением и произведением вектора на число:

( _с) = ( ^. ) – (^.).